2. Equacions racionals · Equacions i sistemes

Què és una equació racional?

Definició

Una equació racional és una equació en què la incògnita apareix al denominador d'una o més fraccions algebraiques.

Per exemple:

\dfrac{x-1}{x} - \dfrac{x+1}{x-5} = \dfrac{x+2}{x^{2}-5x}.

La idea per resoldre-les és la mateixa que amb les fraccions numèriques: treure els denominadors per quedar-nos amb una equació polinòmica que ja sabem resoldre.

Estratègia (5 passos)

Factoritzar tots els denominadors.
Calcular el MCM dels denominadors.
Amplificar cada fracció perquè totes tinguin el MCM com a denominador.
Eliminar els denominadors (queda una igualtat de polinomis).
Resoldre l'equació polinòmica resultant.

Verificació final imprescindible

En multiplicar per un denominador que conté la incògnita, podem introduir solucions falses (anomenades estranyes) que fan zero algun denominador original i, per tant, no són vàlides.

Per això, un cop trobades les solucions, sempre cal comprovar que cap d'elles anul·la cap denominador. Si alguna ho fa, es descarta.

Exercicis

1 Equació amb tres fraccions

Resol $\;\dfrac{x-1}{x} - \dfrac{x+1}{x-5} = \dfrac{x+2}{x^{2}-5x}$.

Pas 1 — Factoritzar els denominadors

Els dos primers ja ho estan. El tercer es factoritza:

x^{2}-5x = x\,(x-5).

Reescrivim l'equació:

\dfrac{x-1}{x} - \dfrac{x+1}{x-5} = \dfrac{x+2}{x(x-5)}.

Pas 2 — MCM dels denominadors

Els denominadors són $x$, $(x-5)$ i $x(x-5)$. El MCM és $\;x(x-5)$.

Pas 3 — Amplificar cada fracció

\dfrac{(x-1)(x-5)}{x(x-5)} - \dfrac{(x+1)\cdot x}{x(x-5)} = \dfrac{x+2}{x(x-5)}.

Pas 4 — Eliminar els denominadors

Com que totes tres fraccions tenen el mateix denominador, igualem els numeradors:

(x-1)(x-5) - (x+1)\cdot x = x+2.

Pas 5 — Resoldre l'equació

Desenvolupem els productes:

x^{2}-5x-x+5 \;-\; x^{2}-x \;=\; x+2.

Els $x^{2}$ es cancel·len:

$$-7x + 5 = x + 2.$$

5 - 2 = x + 7x \;\Longrightarrow\; 3 = 8x \;\Longrightarrow\; \boxed{\,x = \tfrac{3}{8}.\,}

Verificació

Comprovem que $x = \tfrac{3}{8}$ no anul·la cap denominador:

$x = \tfrac{3}{8} \neq 0$ ✓
$x - 5 = \tfrac{3}{8} - 5 = -\tfrac{37}{8} \neq 0$ ✓
$x(x-5) \neq 0$ ✓ (perquè els dos factors no ho són)

La solució és vàlida.

2 Equació amb un terme sense denominador

Resol $\;\dfrac{3}{x+2} - \dfrac{x}{x-2} = 2$.

Pas 1 — Factoritzar els denominadors

Tots els denominadors són ja factors irreductibles: $\;(x+2)$, $\;(x-2)$ i el $1$ del costat dret (que tractarem com a $\dfrac{2}{1}$).

Pas 2 — MCM dels denominadors

$\operatorname{MCM}\bigl(x+2,\; x-2,\; 1\bigr) = (x+2)(x-2)$.

Pas 3 — Amplificar cada fracció

\dfrac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{2(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}.

Pas 4 — Eliminar els denominadors

$$3(x-2) - x(x+2) = 2(x+2)(x-2).$$

Pas 5 — Resoldre l'equació

Desenvolupem els tres productes:

3x-6 \;-\; x^{2}-2x \;=\; 2\,(x^{2}-4) = 2x^{2}-8.

Agrupem tot a un costat:

3x-6-x^{2}-2x-2x^{2}+8 = 0 \;\Longrightarrow\; -3x^{2}+x+2 = 0.

Multipliquem per $-1$ per tenir el coeficient principal positiu i apliquem la fórmula:

3x^{2}-x-2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4\cdot 3\cdot(-2)}}{6} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{6} = \dfrac{1 \pm 5}{6}.

Així:

x_{1} = \dfrac{6}{6} = 1, \qquad x_{2} = \dfrac{-4}{6} = -\tfrac{2}{3}.

Verificació

Cap dels dos valors anul·la $\,x+2\,$ ni $\,x-2$:

$x=1$: $\;1+2 = 3$, $\;1-2 = -1$. ✓
$x=-\tfrac{2}{3}$: $\;-\tfrac{2}{3}+2 = \tfrac{4}{3}$, $\;-\tfrac{2}{3}-2 = -\tfrac{8}{3}$. ✓

\boxed{\;x = 1 \quad\text{o}\quad x = -\tfrac{2}{3}.\;}