Problema 3 · Dos quadrats grisos sota la diagonal
Semblança sobre la diagonal d'un rectangle 2×1 i percentatge d'àrea.
Resposta entera de 4 xifres com a màximConstruïm un rectangle a partir de dos quadrats i en tracem la diagonal. Posem dos quadrats grisos tal com s'indica a la figura. Quin tant per cent del rectangle inicial està ocupat pels dos quadrats grisos?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: posem mides còmodes (el resultat és un percentatge, no depèn de l'escala): rectangle $2 \times 1$ amb la diagonal de $(0,0)$ a $(2,1)$, és a dir, la recta $y = x/2$.
Els dos quadrats grisos, de costat $s$, estan apilats al cantó inferior dret: ocupen $[2-s,\,2] \times [0,\,2s]$. El vèrtex superior esquerre de la pila, $(2-s,\; 2s)$, és sobre la diagonal:
$$2s = \frac{2-s}{2} \;\Longrightarrow\; 4s = 2 - s \;\Longrightarrow\; s = \frac{2}{5}.$$
Àrea grisa: $2s^{2} = 2\cdot\dfrac{4}{25} = \dfrac{8}{25}$. Àrea del rectangle: $2$. Percentatge:
$$\frac{8/25}{2} = \frac{4}{25} = 16\,\%.$$
Resposta: 16