Problema 9 · Mesures de segments en una quadrícula
Quantes distàncies diferents hi ha entre punts d'una quadrícula 5×5.
Resposta entera de 4 xifres com a màximSi a una quadrícula formada per 25 quadradets com la de la figura hi dibuixem tots els segments corresponents a unir 2 punts qualssevol entre ells, quantes mesures diferents tindran aquests segments?
Solució raonada
Idea clau: la longitud d'un segment entre punts de la quadrícula és $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ amb $0 \le a, b \le 5$ els desplaçaments horitzontal i vertical. Comptar mesures diferents és comptar valors diferents de $a^{2}+b^{2}$.
Llistem els valors de $a^{2}+b^{2}$ per a $0 \le a \le b \le 5$ (no tots dos zero):
Atenció a l'única coincidència: $25 = 5^{2}+0^{2} = 3^{2}+4^{2}$, que dona la mateixa mesura ($5$) per a dos parells diferents i per això només compta una vegada.
En total hi ha $19$ valors diferents.