Problema 6 · Nombres quasicapicua
Recompte per casos disjunts al voltant dels capicues de quatre xifres.
Resposta entera de 4 xifres com a màximAnomenem quasicapicua un nombre que si sumem 1 a una i només a una de les seves xifres, de manera que les altres no canviïn, resulta un nombre capicua. Quants nombres quasicapicua de quatre xifres hi ha?
Solució raonada
Idea clau: un capicua de quatre xifres $\overline{abba}$ exigeix dues igualtats: xifres exteriors iguals i xifres centrals iguals. Sumant 1 a una sola xifra només podem «arreglar» una de les dues igualtats; l'altra ja s'ha de complir d'entrada.
Sigui $\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}$ el nombre. Hi ha quatre casos segons quina xifra incrementem (cal que aquesta xifra sigui $\le 8$ perquè no hi hagi ròssec):
Cas 1 — incrementem $d_2$: cal $d_1 = d_4$ i $d_3 = d_2+1$. Tries: $d_1=d_4 \in \{1,\dots,9\}$ i $d_2 \in \{0,\dots,8\}$ → $9 \cdot 9 = 81$.
Cas 2 — incrementem $d_3$: cal $d_1 = d_4$ i $d_2 = d_3+1$ → també $9 \cdot 9 = 81$.
Cas 3 — incrementem $d_1$: cal $d_2 = d_3$ i $d_4 = d_1+1$. Tries: $d_1 \in \{1,\dots,8\}$ i $d_2=d_3 \in \{0,\dots,9\}$ → $8 \cdot 10 = 80$.
Cas 4 — incrementem $d_4$: cal $d_2 = d_3$ i $d_1 = d_4+1$. Tries: $d_4 \in \{0,\dots,8\}$ i $d_2=d_3 \in \{0,\dots,9\}$ → $9 \cdot 10 = 90$.
Els quatre casos són disjunts dos a dos: les seves condicions es contradiuen (per exemple, $d_3 = d_2+1$ és incompatible amb $d_2 = d_3+1$ i amb $d_2=d_3$; i $d_1=d_4$ és incompatible amb $d_4 = d_1+1$). Per tant cap nombre queda comptat dues vegades.