Problema 5 · Nombres de sis xifres amb condicions
Recompte de parelles de xifres amb una suma de dues xifres.
Resposta entera de 4 xifres com a màximQuants nombres de 6 xifres compleixen les tres condicions següents?
- El dígit 0 no hi apareix.
- La suma de les dues primeres xifres és igual al nombre format per les dues últimes.
- El nombre format per les dues xifres centrals és la suma de les dues primeres xifres més 1.
Com, per exemple, el nombre 651211 ($6+5=11$; $6+5+1=12$).
Copa Cangur · SCM
Fàcil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: tot el nombre queda determinat per les dues primeres xifres; només cal comptar quantes parelles inicials són vàlides.
Sigui $s = d_1 + d_2$. Les dues últimes xifres formen el nombre $s$, que ha de ser de dues xifres i sense zeros: $11 \le s \le 18$ (cap d'aquests conté el dígit 0). Les centrals formen $s+1 \in \{12,\dots,19\}$, que tampoc conté mai el dígit 0. Les condicions, doncs, només restringeixen $s$.
Per a cada $s$, les parelles $(d_1, d_2)$ amb $d_1, d_2 \in \{1,\dots,9\}$ i $d_1+d_2 = s$ són $19-s$:
$$\sum_{s=11}^{18}(19-s) = 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36.$$
Resposta: 36