Problema 5 · Números de seis cifras con condiciones
Recuento de parejas de cifras con una suma de dos cifras.
Respuesta entera de 4 cifras como máximo¿Cuántos números de 6 cifras cumplen las tres condiciones siguientes?
- El dígito 0 no aparece.
- La suma de las dos primeras cifras es igual al número formado por las dos últimas.
- El número formado por las dos cifras centrales es la suma de las dos primeras cifras más 1.
Como, por ejemplo, el número 651211 ($6+5=11$; $6+5+1=12$).
Copa Cangur · SCM
Fácil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: todo el número queda determinado por las dos primeras cifras; solo hay que contar cuántas parejas iniciales son válidas.
Sea $s = d_1 + d_2$. Las dos últimas cifras forman el número $s$, que debe ser de dos cifras y sin ceros: $11 \le s \le 18$ (ninguno de estos contiene el dígito 0). Las centrales forman $s+1 \in \{12,\dots,19\}$, que tampoco contiene nunca el dígito 0. Las condiciones, pues, solo restringen $s$.
Para cada $s$, las parejas $(d_1, d_2)$ con $d_1, d_2 \in \{1,\dots,9\}$ y $d_1+d_2 = s$ son $19-s$:
$$\sum_{s=11}^{18}(19-s) = 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36.$$
Respuesta: 36