Problema 11 · Els quadrats grisos sota la diagonal
Semblança a la diagonal del rectangle 2×1: costat gris $= \tfrac{2}{5}$ del blanc.
Resposta entera de 4 xifres com a màximA la figura hi podeu veure dos quadrats blancs que s'han posat un al costat de l'altre, i dos quadrats grisos més petits que s'han col·locat a l'interior del quadrat blanc de la dreta. Si l'àrea d'un quadrat blanc és de 200 cm², quant mesura l'àrea d'un quadrat gris?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: els dos quadrats blancs formen un rectangle $2s \times s$ amb la diagonal traçada de cantonada a cantonada: la recta $y = x/2$.
Els dos quadrats grisos, de costat $t$, estan apilats al cantó inferior dret, i el vèrtex superior esquerre de la pila, $(2s - t,\ 2t)$, és sobre la diagonal:
$$2t = \frac{2s - t}{2} \;\Longrightarrow\; 4t = 2s - t \;\Longrightarrow\; t = \frac{2s}{5}.$$
L'àrea d'un quadrat gris:
$$t^{2} = \frac{4s^{2}}{25} = \frac{4 \cdot 200}{25} = 32\ \text{cm}^{2}.$$
Resposta: 32