Problema 9 · Mesures de segments en una quadrícula 4×4
Valors diferents de $a^{2}+b^{2}$ amb $0 \le a, b \le 4$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximSi a una quadrícula formada per 16 quadradets com la de la figura hi dibuixem tots els segments corresponents a unir 2 vèrtexs qualssevol d'aquests quadradets entre ells, quantes mesures diferents tindran aquests segments?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: la longitud d'un segment entre vèrtexs és $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ amb $0 \le a, b \le 4$ els desplaçaments horitzontal i vertical. Comptar mesures diferents és comptar valors diferents de $a^{2}+b^{2}$.
Llistem els valors per a $0 \le a \le b \le 4$ (no tots dos zero):
$$1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 9,\ 10,\ 13,\ 16,\ 17,\ 18,\ 20,\ 25,\ 32.$$
Aquí no hi ha cap coincidència (la clàssica $25 = 3^{2}+4^{2} = 5^{2}$ necessitaria desplaçament $5$, que no hi cap): $14$ valors diferents.
Resposta: 14