Problema 9 · Medidas de segmentos en una cuadrícula 4×4
Valores distintos de $a^{2}+b^{2}$ con $0 \le a, b \le 4$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoSi en una cuadrícula formada por 16 cuadraditos como la de la figura dibujamos todos los segmentos correspondientes a unir 2 vértices cualesquiera de estos cuadraditos entre ellos, ¿cuántas medidas diferentes tendrán estos segmentos?
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: la longitud de un segmento entre vértices es $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ con $0 \le a, b \le 4$ los desplazamientos horizontal y vertical. Contar medidas diferentes es contar valores distintos de $a^{2}+b^{2}$.
Listamos los valores para $0 \le a \le b \le 4$ (no ambos cero):
$$1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 9,\ 10,\ 13,\ 16,\ 17,\ 18,\ 20,\ 25,\ 32.$$
Aquí no hay ninguna coincidencia (la clásica $25 = 3^{2}+4^{2} = 5^{2}$ necesitaría desplazamiento $5$, que no cabe): $14$ valores distintos.
Respuesta: 14