Problema 13 · Exactament deu divisors

Solució raonada

Idea clau: si $n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$, el nombre de divisors és $(a_1+1)\cdots(a_k+1)$. Volem que aquest producte sigui $10 = 10$ o $2 \cdot 5$.

Cas $10$: $n = p^{9}$, el més petit és $2^{9} = 512$. Cas $2 \cdot 5$: $n = p^{4}q$ amb $p \ne q$ primers; el més petit s'obté amb $p = 2$, $q = 3$:

Comprovació: divisors d'expressió $2^{i}3^{j}$ amb $0 \le i \le 4$, $0 \le j \le 1$: $5 \cdot 2 = 10$ divisors ✓. I $48 < 512$.