Problema 12 · L'àrea grisa dels tres quadrats

Solució raonada

Idea clau: els tres quadrats pengen alineats per dalt. Les tres marques iguals (de longitud $t$) són: tot el costat dret del quadrat petit, el tram inferior del costat dret del mitjà i el tram inferior del costat dret del gran.

Mides. El quadrat petit té costat $c = t$. El mitjà arriba fins a fondària $2t$ (el seu costat dret té el tram marcat de $t$ per sota del nivell $t$): costat $2t$. El gran, anàlogament: costat $3t$. Com que $3t + 2t + t = 24$, tenim $t = 4$: costats $12$, $8$ i $4$.

Les dues rectes. Amb origen al vèrtex superior esquerre: una recta va fins al vèrtex inferior dret del quadrat gran $(12, 12)$, i l'altra fins al vèrtex inferior dret del petit $(24, 4)$ (pendent $\tfrac{1}{6}$). El gris queda entre les dues línies dins del gran, i entre la línia suau i les bases dins del mitjà i el petit.

Àrees. Triangle del quadrat gran, amb base vertical a $x = 12$ des de $y = 2$ (línia suau) fins a $y = 12$:

Trapezi del mitjà, entre la línia suau i la seva base $y = 8$ (costats verticals $6$ i $\tfrac{14}{3}$, amplada $8$): $A_2 = \tfrac{1}{2}\left(6 + \tfrac{14}{3}\right) \cdot 8 = \tfrac{128}{3}$. Triangle del petit, entre la línia i la seva base $y = 4$: $A_3 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{3} \cdot 4 = \tfrac{4}{3}$.