Problema 10 · El camí dins del triangle equilàter
Horitzontals que sumen per Tales i cinc trams inclinats iguals.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEl triangle $ABC$ de la figura és equilàter: el seu costat mesura 108 cm. El camí ressaltat en línies contínues s'obté dividint el costat $AC$ en 5 segments d'igual longitud; les seccions horitzontals del camí són paral·leles al costat $AB$. Quants centímetres fa el camí?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: per Tales, l'horitzontal a alçada $k/5$ (des del vèrtex $C$) fa $\tfrac{k}{5} \cdot 108$; els trams inclinats segueixen la direcció del costat i fan $\tfrac{108}{5}$ cadascun.
Les quatre seccions horitzontals:
$$\left(\tfrac{1}{5} + \tfrac{2}{5} + \tfrac{3}{5} + \tfrac{4}{5}\right)\cdot 108 = 2 \cdot 108 = 216\ \text{cm}.$$
Els cinc trams inclinats (un per cada cinquena part del costat): $5 \cdot \dfrac{108}{5} = 108$ cm.
$$216 + 108 = 324\ \text{cm}.$$
Resposta: 324