Problema 8 · Sis nombres gairebé encadenats
Una bifurcació $2,3$ que es retroba a $6$ estalvia doblar.
Resposta entera de 4 xifres com a màximVolem triar sis nombres enters i positius de manera que en qualsevol parella de nombres d'aquest conjunt sempre un d'ells és divisor de l'altre, excepte en el cas d'una única parella en què cap dels dos nombres és divisible per l'altre. Si anomenem $n$ el nombre més gran del conjunt, quin és el valor més petit que pot tenir $n$?
Solució raonada
Idea clau: en una cadena per divisibilitat cada pas multiplica com a mínim per $2$; l'única parella incomparable permet una bifurcació curta.
Si els sis nombres fossin una cadena completa ($a_1 \mid a_2 \mid \cdots \mid a_6$), el màxim seria almenys $2^5 = 32$. La parella incomparable permet bifurcar un esglaó: prenem
on l'única parella incomparable és $(2,3)$ i tota la resta s'encadena ($1 \mid 2 \mid 6$, $1 \mid 3 \mid 6 \mid 12 \mid 24$). El màxim és $24$, i una cerca exhaustiva confirma que cap conjunt amb màxim $\le 23$ no ho compleix.