Problema 1 · La torre de 84 esferes
Set capes triangulars: tangències dins de cada capa i entre capes.
Resposta entera de 4 xifres com a màximAmb 84 esferes idèntiques fem una torre en forma de tetraedre regular, similar al de la imatge però amb més esferes, deixant el mínim espai possible entre elles. Quants punts de tangència hi ha entre totes les esferes?
Copa Cangur · SCM
Difícil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: els nombres tetraèdrics són $T\!e(n) = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$ i $T\!e(7) = 84$: la torre té $7$ capes, on la capa $k$ és un triangle de $T_k = \tfrac{k(k+1)}{2}$ esferes.
Dins d'una capa triangular de costat $k$ hi ha $3T_{k-1} = \tfrac{3k(k-1)}{2}$ tangències (tres per cada triangleta amunt). Entre la capa $k$ i la $k+1$, cada esfera de la capa de dalt reposa sobre $3$ de la de baix: $3T_k$ tangències.
$$\sum_{k=1}^{7} \frac{3k(k-1)}{2} + \sum_{k=1}^{6} \frac{3k(k+1)}{2} = 3\,T\!e(6) + 3\,T\!e(6) = 6 \cdot 56 = 336.$$
Resposta: 336