Ejercicio 1 · Función a trozos — continuidad, área y recta tangente

Continuidad de una función definida a trozos, cálculo de un área con integrales y recta tangente con pendiente dada.

Puntuación máxima · 2,5 puntos

Considera la función definida a trozos $$f(x)=\begin{cases} 5e^{2x} & x\le 0 \\ (x+m)^2+1 & 0

Determina los valores de $m$ que hacen que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. Justifica la respuesta. 1 p
Haz un esbozo de la gráfica de $y=f(x)$ para el caso $m=-2$, y calcula el área delimitada por esta gráfica, el eje $OX$ y las rectas $x=-1$ y $x=3$. 1 p
Para $m=-2$, halla un punto donde la recta tangente a $y=f(x)$ sea paralela a $y=-2x$. Calcula la ecuación de esta recta tangente. 0,5 p

Bachillerato Científico · Bloque D — Análisis Continuidad Integral definida Recta tangente

Corrección paso a paso

Idea clave: una función a trozos es continua en un punto de enlace si los dos límites laterales coinciden con el valor de la función. Cada empalme da una condición sobre $m$; deben cumplirse todas a la vez.

a) Valores de $m$ que hacen $f$ continua

Dentro de cada trozo la función es continua (exponencial, polinomio y constante). Solo hay que estudiar los dos puntos de enlace, $x=0$ y $x=2$.

En $x=0$: el límite por la izquierda es $5e^{0}=5$ y el límite por la derecha es $(0+m)^2+1=m^2+1$. Imponemos la igualdad:

m^2+1=5 \;\Longrightarrow\; m^2=4 \;\Longrightarrow\; m=-2 \;\text{ o }\; m=2.

En $x=2$: el límite por la izquierda es $(2+m)^2+1$ y el valor (y límite por la derecha) es $1$. Imponemos la igualdad:

(2+m)^2+1=1 \;\Longrightarrow\; (2+m)^2=0 \;\Longrightarrow\; m=-2.

Las dos condiciones se deben cumplir a la vez. El valor $m=2$ supera la primera pero falla en $x=2$; el único valor común es $m=-2$.

$f$ es continua en todo su dominio solo si $m=-2$.

b) Esbozo y área para $m=-2$

Con $m=-2$ el trozo central es $(x-2)^2+1$. La gráfica: una exponencial creciente hasta $(0,5)$, una parábola que baja de $(0,5)$ hasta el vértice $(2,1)$ y, a partir de aquí, la recta constante $y=1$. Como $f(x)>0$ en todas partes, el área es directamente la integral de $f$ entre $x=-1$ y $x=3$:

Descomponemos la integral en los tres tramos:

\text{Área}=\int_{-1}^{0} 5e^{2x}\,dx+\int_{0}^{2}\big((x-2)^2+1\big)\,dx+\int_{2}^{3} 1\,dx.

Primer tramo:

\int_{-1}^{0} 5e^{2x}\,dx=\Big[\tfrac{5}{2}e^{2x}\Big]_{-1}^{0}=\tfrac{5}{2}\big(1-e^{-2}\big)=\tfrac{5}{2}-\tfrac{5}{2}e^{-2}.

Segundo tramo (con el cambio $u=x-2$):

\int_{0}^{2}\big((x-2)^2+1\big)\,dx=\Big[\tfrac{(x-2)^3}{3}+x\Big]_{0}^{2}=\Big(0+2\Big)-\Big(-\tfrac{8}{3}+0\Big)=2+\tfrac{8}{3}=\tfrac{14}{3}.

Tercer tramo: $\int_{2}^{3}1\,dx=1$. Sumamos:

\text{Área}=\Big(\tfrac{5}{2}-\tfrac{5}{2}e^{-2}\Big)+\tfrac{14}{3}+1=\frac{49}{6}-\frac{5}{2}e^{-2}\approx 7{,}83\ \text{u}^2.

Área $=\dfrac{49}{6}-\dfrac{5}{2}e^{-2}\approx 7{,}83$ unidades cuadradas.

c) Recta tangente paralela a $y=-2x$

«Paralela a $y=-2x$» significa pendiente $-2$, es decir, buscamos un punto donde $f'(x)=-2$. Derivamos trozo a trozo (con $m=-2$):

f'(x)=\begin{cases} 10e^{2x} & x<0 \\ 2(x-2) & 02 \end{cases}

El tramo exponencial da $10e^{2x}>0$ siempre (nunca $-2$) y el constante da $0$. Solo queda el tramo central:

2(x-2)=-2 \;\Longrightarrow\; x-2=-1 \;\Longrightarrow\; x=1\in(0,2).\ \checkmark

El punto de tangencia es $\big(1,f(1)\big)$ con $f(1)=(1-2)^2+1=2$. La recta de pendiente $-2$ que pasa por él:

y-2=-2(x-1)\;\Longrightarrow\; y=-2x+4.

Punto $(1,2)$; recta tangente $y=-2x+4$.