Ejercicio 1 · Funciones y derivadas — Seguidores en redes sociales

Lectura de valores, intervalos de monotonía, extremos locales y esbozo de una cúbica en un intervalo cerrado.

Puntuación máxima · 2,5 puntos

Un médico empieza a hacer divulgación sobre salud en las redes sociales. A medida que publica contenidos relacionados con este tema, observa un aumento en su número de seguidores. En un momento determinado graba un vídeo polémico y pierde un pequeño número de seguidores, pero al cabo de unos días publica otro que tiene mucho éxito y, a partir de entonces, su número de seguidores vuelve a crecer. La función que describe su número de seguidores en función del tiempo $t$, medido en semanas, es $f(t) = 10t^{3} - 120t^{2} + 450t + 700$, con $t \in [0, 10]$.

¿Cuántos seguidores tiene al principio? ¿Cuántos tiene al cabo de 10 semanas? Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determina sus extremos locales. Haz un esbozo de la gráfica utilizando la información obtenida. 1,5 p
¿En qué semana cuelga el vídeo polémico y cuántos seguidores tiene en aquel momento? ¿En qué semana cuelga el vídeo que tiene mucho éxito? A lo largo de las 10 semanas, ¿en qué momento tiene más seguidores? 1 p

Bachillerato CCSS · Bloque D — Sentido algebraico Derivadas Monotonía y extremos Esbozo de gráficas

Corrección paso a paso

Idea clave: la monotonía de $f$ viene dada por el signo de $f'$; los extremos locales son los ceros de $f'$ donde hay cambio de signo. En un intervalo cerrado, el máximo absoluto puede ser un extremo local o un extremo del intervalo: hay que comparar valores.

a) Valores iniciales y finales, monotonía y extremos

Seguidores al principio y al cabo de 10 semanas:

f(0) = 700, \qquad f(10) = 10(1000) - 120(100) + 450(10) + 700 = 10000 - 12000 + 4500 + 700 = 3200.

Derivamos y factorizamos:

f'(t) = 30t^{2} - 240t + 450 = 30\,(t^{2} - 8t + 15) = 30\,(t-3)(t-5).

Los ceros de $f'$ son $t = 3$ y $t = 5$. Estudiamos el signo de $f'$ sobre $[0, 10]$:

f' > 0 \text{ en } [0, 3), \qquad f' < 0 \text{ en } (3, 5), \qquad f' > 0 \text{ en } (5, 10].

Por tanto $f$ es creciente en $[0,3) \cup (5,10]$ y decreciente en $(3,5)$.

Extremos locales: en $t=3$ hay un máximo local con $f(3) = 270 - 1080 + 1350 + 700 = 1240$; en $t=5$ hay un mínimo local con $f(5) = 1250 - 3000 + 2250 + 700 = 1200$.

Esbozo con los puntos clave $(0,700)$, $(3,1240)$, $(5,1200)$ y $(10,3200)$:

$f(0)=700$ y $f(10)=3200$ seguidores. Creciente en $[0,3)\cup(5,10]$, decreciente en $(3,5)$; máximo local $(3, 1240)$ y mínimo local $(5, 1200)$.

b) Interpretación de los extremos

El vídeo polémico lo cuelga cuando empieza a perder seguidores, es decir, en el máximo local: semana 3, con $f(3) = 1240$ seguidores.

El vídeo con mucho éxito lo cuelga cuando el número de seguidores vuelve a crecer, es decir, en el mínimo local: semana 5.

Para hallar el momento con más seguidores comparamos el máximo local con los extremos del intervalo:

f(3) = 1240 \quad \text{vs.} \quad f(10) = 3200.

Vídeo polémico: semana 3, con 1240 seguidores. Vídeo de éxito: semana 5. El máximo de seguidores se alcanza al final, en la semana 10, con 3200 seguidores.