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3r ESO · Números racionales Apuntes 13 oct 2026

Multiplicación, división y operaciones combinadas

Multiplicar en línea, dividir en cruz (o por la inversa), la regla de los signos y el orden de las operaciones combinadas.

Multiplicación

Para multiplicar dos fracciones, multiplicamos en línea: numerador por numerador y denominador por denominador.

$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Ejemplo.

$$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \dfrac{10}{21}$$

Ejemplo. Cuando los números son grandes, vale la pena descomponerlos en factores y simplificar antes de multiplicar:

$$\dfrac{30}{48} \cdot \dfrac{15}{27} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 5}{2^4 \cdot 3} \cdot \dfrac{3 \cdot 5}{3^3} \cdot \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \dfrac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{2^5 \cdot 3^4 \cdot 5} = \dfrac{5}{2^3 \cdot 3} = \dfrac{5}{24}$$
$$\dfrac{12}{28} \cdot \dfrac{49}{25} \cdot \dfrac{75}{9} = \dfrac{2^2 \cdot 3}{2^2 \cdot 7} \cdot \dfrac{7^2}{5^2} \cdot \dfrac{3 \cdot 5^2}{3^2} = \dfrac{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7} = \dfrac{7}{1} = 7$$

División

Para dividir dos fracciones $\dfrac{a}{b}$ y $\dfrac{c}{d}$ hay dos maneras, que dan lo mismo:

→ Multiplicar en cruz:

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

→ Multiplicar por la inversa de la segunda fracción:

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Ejemplo.

$$\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$$

Regla de los signos

Cuando se multiplican dos números, el signo del resultado es:

$+$$\cdot$$+$$=$$+$
$+$$\cdot$$-$$=$$-$
$-$$\cdot$$+$$=$$-$
$-$$\cdot$$-$$=$$+$

Igual para la división.

Ejemplo. Primero decidimos el signo: hay tres factores negativos, y un número impar de signos menos da negativo. Después dividimos como siempre, multiplicando por la inversa:

$$\left(-\dfrac{3}{4}\right) : \left(-\dfrac{5}{8}\right) : \left(-\dfrac{2}{5}\right) = -\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8} : \dfrac{2}{5} = -\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{5}{2} = -\dfrac{3 \cdot 2^3 \cdot 5}{2^2 \cdot 5 \cdot 2} = -3$$

Ejemplo. Aquí hay dos negativos, y el resultado es positivo. Las operaciones del mismo nivel se hacen de izquierda a derecha:

$$\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) : \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$$

Operaciones combinadas

Cuando hay varias operaciones, el orden es este:

  1. Paréntesis y corchetes, de dentro hacia fuera: $(\;)$, $[\;]$
  2. Potencias y raíces: $a^n$, $\sqrt{\;}$
  3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha: $\cdot$, $:$
  4. Sumas y restas: $+$, $-$

Ejemplo. La multiplicación va antes que la suma:

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{6}{9} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{13}{9}$$

Ejemplo. Con un paréntesis: primero la división de dentro, después la resta, después la multiplicación y al final la suma:

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{5}{2} : \dfrac{3}{4} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{20}{6} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{10}{3} - \dfrac{3}{3}\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{13}{9}$$