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3r ESO · Números racionales Apuntes 7 oct 2026

Fracciones: irreducible, equivalentes, suma y resta

La fracción irreducible, las fracciones equivalentes y cómo se suman y se restan las fracciones.

Fracción irreducible

Una fracción $\dfrac{a}{b}$ es irreducible si no se puede simplificar más, es decir, si $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común:

$$\text{MCD}(a, b) = 1$$

Para encontrarla, dividimos el numerador y el denominador por el $\text{MCD}(a, b)$.

Ejemplo. Buscamos la fracción irreducible de $\dfrac{48}{36}$. Primero descomponemos el numerador y el denominador en factores primos:

482
242
122
62
33
1
362
182
93
33
1
$$48 = 2^4 \cdot 3 \qquad 36 = 2^2 \cdot 3^2$$

El MCD son los factores comunes con el exponente más pequeño:

$$\text{MCD}(48, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12$$

Dividimos el numerador y el denominador entre $12$:

$$\dfrac{48}{36} = \dfrac{48 : 12}{36 : 12} = \dfrac{4}{3}$$

El MCM, que usaremos para sumar, son los factores comunes y no comunes con el exponente más grande: $\text{MCM}(48, 36) = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones $\dfrac{a}{b}$ y $\dfrac{c}{d}$ son equivalentes si tienen la misma fracción irreducible.

Para comprobarlo sin simplificar, se multiplica en cruz:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$

Ejemplo. Las dos simplifican a $\dfrac{3}{4}$, y los productos en cruz dan lo mismo:

$$\dfrac{15}{20} = \dfrac{6}{8} \qquad 15 \cdot 8 = 120 \qquad 20 \cdot 6 = 120$$

Ejemplo. Halla $x$ para que las fracciones sean equivalentes:

$$\dfrac{5}{x} = \dfrac{3}{12}$$

Simplificando. $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$. Para pasar de $1$ a $5$ multiplicamos por $5$, y el denominador también:

$$\dfrac{5}{x} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} \;\Longrightarrow\; x = 4 \cdot 5 = 20$$

Multiplicando en cruz.

$$5 \cdot 12 = 3 \cdot x \;\Longrightarrow\; 60 = 3x \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{60}{3} = 20$$

Suma y resta

  1. Calculamos el MCM de todos los denominadores.
  2. Amplificamos las fracciones para que tengan el MCM como denominador.
  3. Sumamos o restamos los numeradores.
  4. Simplificamos el resultado.

Ejemplo. $\dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{12}$. Descomponemos los denominadores para encontrar el MCM:

82
42
22
1
62
33
1
122
62
33
1
$$8 = 2^3 \quad 6 = 2 \cdot 3 \quad 12 = 2^2 \cdot 3$$
$$\text{MCM}(8, 6, 12) = 2^3 \cdot 3 = 24$$
$$\dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{9}{24} - \dfrac{20}{24} + \dfrac{14}{24} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}$$