Inici / Docència / 3r ESO / Nombres racionals / 03 · Fraccions: irreductible, equivalents, suma i resta
3r ESO · Nombres racionals Apunts 7 oct 2026

Fraccions: irreductible, equivalents, suma i resta

La fracció irreductible, les fraccions equivalents i com se sumen i es resten les fraccions.

Fracció irreductible

Una fracció $\dfrac{a}{b}$ és irreductible si no es pot simplificar més, és a dir, si $a$ i $b$ no tenen cap divisor comú:

$$\text{MCD}(a, b) = 1$$

Per trobar-la, dividim el numerador i el denominador pel $\text{MCD}(a, b)$.

Exemple. Busquem la fracció irreductible de $\dfrac{48}{36}$. Primer descomponem el numerador i el denominador en factors primers:

482
242
122
62
33
1
362
182
93
33
1
$$48 = 2^4 \cdot 3 \qquad 36 = 2^2 \cdot 3^2$$

El MCD són els factors comuns amb l'exponent més petit:

$$\text{MCD}(48, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12$$

Dividim el numerador i el denominador entre $12$:

$$\dfrac{48}{36} = \dfrac{48 : 12}{36 : 12} = \dfrac{4}{3}$$

El MCM, que farem servir per sumar, són els factors comuns i no comuns amb l'exponent més gran: $\text{MCM}(48, 36) = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Fraccions equivalents

Dues fraccions $\dfrac{a}{b}$ i $\dfrac{c}{d}$ són equivalents si tenen la mateixa fracció irreductible.

Per comprovar-ho sense simplificar, es multiplica en creu:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$

Exemple. Les dues simplifiquen a $\dfrac{3}{4}$, i els productes en creu donen el mateix:

$$\dfrac{15}{20} = \dfrac{6}{8} \qquad 15 \cdot 8 = 120 \qquad 20 \cdot 6 = 120$$

Exemple. Troba $x$ perquè les fraccions siguin equivalents:

$$\dfrac{5}{x} = \dfrac{3}{12}$$

Simplificant. $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$. Per passar de $1$ a $5$ multipliquem per $5$, i el denominador també:

$$\dfrac{5}{x} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} \;\Longrightarrow\; x = 4 \cdot 5 = 20$$

Multiplicant en creu.

$$5 \cdot 12 = 3 \cdot x \;\Longrightarrow\; 60 = 3x \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{60}{3} = 20$$

Suma i resta

  1. Calculem el MCM de tots els denominadors.
  2. Amplifiquem les fraccions perquè tinguin el MCM com a denominador.
  3. Sumem o restem els numeradors.
  4. Simplifiquem el resultat.

Exemple. $\dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{12}$. Descomponem els denominadors per trobar el MCM:

82
42
22
1
62
33
1
122
62
33
1
$$8 = 2^3 \quad 6 = 2 \cdot 3 \quad 12 = 2^2 \cdot 3$$
$$\text{MCM}(8, 6, 12) = 2^3 \cdot 3 = 24$$
$$\dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{9}{24} - \dfrac{20}{24} + \dfrac{14}{24} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}$$