4. ¿A qué conjunto pertenece?
Determina a qué conjunto pertenecen los números siguientes.
a) $\displaystyle -\dfrac{2}{5}$
Es una fracción con numerador y denominador enteros, y no es un entero: $-2 : 5 = -0{,}4$.
$-\dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q}$, pero no es entero ni natural.
b) $\displaystyle \sqrt{4}$
Primero calculamos la raíz:
$\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N}$ (y, por tanto, también es de $\mathbb{Z}$ y de $\mathbb{Q}$).
c) $\displaystyle 2{,}0\overline{3}$
Es un decimal periódico mixto: el anteperiodo es el $0$ y el periodo, el $3$. Los decimales periódicos se pueden escribir como una fracción:
$2{,}0\overline{3} \in \mathbb{Q}$, pero no es entero.
d) $\displaystyle -6$
Es un entero negativo. También se puede escribir como una fracción: $-6 = -\dfrac{6}{1}$.
$-6 \in \mathbb{Z}$ (y a $\mathbb{Q}$), pero no es natural.
e) $\displaystyle \dfrac{4}{9}$
Es una fracción que no da un entero:
$\dfrac{4}{9} \in \mathbb{Q}$, pero no es entero.
f) $\displaystyle 0{,}71$
Es un decimal exacto, y se puede escribir como una fracción:
$0{,}71 \in \mathbb{Q}$, pero no es entero.
g) $\displaystyle \dfrac{12}{3}$
La división es exacta:
$\dfrac{12}{3} = 4 \in \mathbb{N}$ (y a $\mathbb{Z}$ y a $\mathbb{Q}$).
Resumen
Como $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, un número natural también es entero y racional. En cada apartado decimos el conjunto más pequeño.
| Número | $\mathbb{N}$ | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Q}$ |
|---|---|---|---|
| $-\dfrac{2}{5}$ | — | — | ✓ |
| $\sqrt{4}$ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $2{,}0\overline{3}$ | — | — | ✓ |
| $-6$ | — | ✓ | ✓ |
| $\dfrac{4}{9}$ | — | — | ✓ |
| $0{,}71$ | — | — | ✓ |
| $\dfrac{12}{3}$ | ✓ | ✓ | ✓ |
5. Verdadero o falso
Indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas y, en este último caso, corrígelas en tu cuaderno.
a) Todos los números enteros son racionales.
Cualquier entero se puede escribir como una fracción con denominador $1$:
Verdadera.
b) Una fracción es el cociente de dos números naturales.
El numerador y el denominador pueden ser negativos, y el $0$ puede ser numerador. Por ejemplo, $-\dfrac{3}{4}$ es una fracción y $-3$ no es natural. La única condición es que el denominador no sea $0$.
Falsa. Corregida: «Una fracción es el cociente de dos números enteros, con el denominador distinto de $0$».
c) Los números decimales periódicos son números racionales.
Todos los decimales periódicos, puros y mixtos, se pueden escribir como una fracción. Por ejemplo:
Verdadera.
2. El beneficio de una empresa
Una empresa tiene unos gastos fijos mensuales de 15 000 € y unos gastos diarios, derivados de la fabricación de su producto, de 350 €. Si un mes determinado (30 días) la empresa ha vendido 250 unidades de este producto a un precio unitario de 70 €, ¿a cuánto asciende el beneficio mensual?
Ver la solución
Gastos diarios de todo el mes:
Gastos totales del mes:
Ingresos por las ventas:
El beneficio es lo que se ingresa menos lo que se gasta:
El beneficio es $-8\,000$ €: este mes la empresa pierde $8\,000$ €. Un beneficio negativo es una pérdida, y por eso necesitamos los números enteros.
Modifica alguno de los datos, vuelve a resolverlo y contesta la pregunta. ¿Qué diferencias encuentras? ¿Tiene sentido el resultado? Justifica las respuestas.
Un ejemplo
Hay muchas maneras de hacerlo. Por ejemplo, si la empresa vende 400 unidades en lugar de 250, los gastos no cambian:
Ahora el beneficio es positivo: la empresa gana dinero. El resultado tiene sentido: cuantas más unidades vende, más ingresa, y los gastos son los mismos.
¿Cuántas unidades tiene que vender como mínimo para no perder dinero?
Con 364 unidades todavía pierde dinero ($364 \cdot 70 = 25\,480$ €); a partir de 365 unidades ya gana.