Conjuntos numéricos · Números racionales

Números naturales

Sirven para contar.

\mathbb{N} = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots\}

Números enteros

Sirven para contar y descontar.

\mathbb{Z} = \{\ldots,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots\}

Números racionales

Sirven, entre otras cosas, para repartir. Son todos los números que se pueden escribir en forma de fracción.

\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\}

Se lee: «el conjunto de las fracciones $\frac{a}{b}$ en las que $a$ y $b$ son enteros y $b$ es distinto de $0$».

Ejemplos

$\dfrac{3}{4}$✓ es una fracción

$\dfrac{5{,}2}{3}$✗ no es una fracción: $5{,}2$ no es un entero.

$\dfrac{0}{3} = 0$✓ es una fracción

$\dfrac{-5}{0}$✗ no es una fracción: el denominador no puede ser $0$: no se puede repartir entre cero partes.

Partes de la fracción

\dfrac{\textcolor{#0891b2}{a}}{\textcolor{#db2777}{b}}

→ Numerador ($a$): las partes representadas. → Denominador ($b$): las partes en que se divide cada unidad.

La fracción en la recta

Procedimiento

→ El denominador dice en cuántas partes iguales se divide cada unidad.

→ El numerador dice cuántas de esas partes contamos desde el $0$: hacia la derecha si es positivo, hacia la izquierda si es negativo.

Ejemplo. Para representar $\dfrac{7}{3}$, dividimos cada unidad en $3$ partes y contamos $7$ desde el $0$: el punto cae entre el $2$ y el $3$.

Pruébalo: cambia el numerador y el denominador y mira dónde cae la fracción.

Numerador7 Denominador3

Diagrama de conjuntos

Todo número natural es entero, y todo entero es racional: $\;\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{N}$$2$$5$

$-3$$0$

$\dfrac{7}{3}$ $\dfrac{3}{4}$ $5{,}2$decimal exacto $5{,}\overline{2}$periódico puro $5{,}0\overline{2}$periódico mixto

Los decimales racionales

→ Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales. $5{,}2$

→ Decimal periódico puro: una cifra o un grupo de cifras (el periodo) se repite para siempre justo después de la coma. $5{,}\overline{2} = 5{,}222\ldots$

→ Decimal periódico mixto: antes del periodo hay cifras que no se repiten. $5{,}0\overline{2} = 5{,}0222\ldots$

Los tres se pueden escribir como una fracción; por eso son racionales.