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2n ESO · Fracciones Problemas 6 oct 2025

7. Problemas con fracciones

Ideas previas, el concepto de "el resto" y problemas resueltos paso a paso.

Ideas previas

Aplicar una fracción a un número

Calcular "$\dfrac{a}{b}$ de $c$" es multiplicar la fracción por el número:

$$\dfrac{a}{b} \text{ de } c = \dfrac{a \cdot c}{b}$$

Ejemplo. $\dfrac{3}{8}$ de $24 = \dfrac{3 \cdot 24}{8} = \dfrac{72}{8} = 9$.

Encontrar la fracción

Para encontrar qué fracción representa una situación, se divide el número que cumple la condición entre el número total:

$$\text{fracción} = \dfrac{\text{número que cumple la condición}}{\text{número total}}$$

Ejemplo. En una clase de 22 alumnos, 8 juegan a baloncesto. La fracción de los que juegan es $\dfrac{8}{22} = \dfrac{4}{11}$.

El concepto de "el resto"

Si una parte se queda fuera ($\dfrac{a}{b}$ del total), "el resto" es el complementario, es decir, $1 - \dfrac{a}{b}$. Para aplicar una fracción sobre el resto, primero calculamos el resto y después multiplicamos.

Ejemplo. En una clase de 30 alumnos, $\dfrac{1}{3}$ juega a baloncesto y la mitad del resto no practica ningún deporte. ¿Cuántos no practican deporte?

  • Juegan a baloncesto: $\dfrac{1}{3}$ de $30 = 10$.
  • "El resto" (no juegan a baloncesto): $\dfrac{2}{3}$.
  • No practican deporte: $\dfrac{1}{2}$ de $\dfrac{2}{3}$ de $30 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 30 = \dfrac{60}{6} = 10$.
La expresión "el resto" en estos problemas quiere decir "lo que queda después de quitar el primer trozo". No hay que confundirla con la "resta" como operación. Cuando leemos un problema, conviene preguntarse: ¿el resto de qué?

Problemas resueltos

10

En una conferencia sobre la paz y el desarme, $\dfrac{2}{5}$ de los participantes son catalanes, $\dfrac{1}{4}$ franceses y $\dfrac{6}{7}$ del resto son alemanes.

  1. ¿Qué fracción del total forma el grupo de alemanes?
  2. Si el grupo de alemanes está formado por 90 personas, ¿cuántos participantes hay en la conferencia?
Ver la solución

a) Catalanes y franceses juntos: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20}$.

"El resto" (ni catalanes ni franceses): $1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$.

Alemanes = $\dfrac{6}{7}$ del resto:

$$\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{7}{20} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$$

b) Si $\dfrac{3}{10}$ del total son $90$ personas:

$$\dfrac{3}{10} \cdot T = 90 \quad\Longrightarrow\quad T = 90 \cdot \dfrac{10}{3} = 300 \text{ personas}$$

a) $\dfrac{3}{10}$ del total son alemanes.

b) Hay $300$ participantes.

11

Las $\dfrac{3}{5}$ partes de los 300 alumnos de una escuela tienen 1 o 2 hermanos. Los $\dfrac{2}{5}$ del resto tienen 3.

  1. ¿Qué fracción de los alumnos tiene más de 3 hermanos?
  2. ¿Cuántos alumnos tienen más de 3 hermanos?
Ver la solución

a) Resto (no tienen 1 ni 2 hermanos): $1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Tienen exactamente 3 hermanos: $\dfrac{2}{5}$ de $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$.

Tienen más de 3 hermanos: $\dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{25} = \dfrac{10}{25} - \dfrac{4}{25} = \dfrac{6}{25}$.

b) $\dfrac{6}{25}$ de $300$:

$$\dfrac{6}{25} \cdot 300 = \dfrac{1800}{25} = 72 \text{ alumnos}$$

a) $\dfrac{6}{25}$ tienen más de 3 hermanos.

b) Son $72$ alumnos.

12

Un comerciante vendió ayer $\dfrac{1}{3}$ de una pieza de tela. Hoy ha vendido la mitad de lo que le quedaba.

  1. ¿Qué fracción ha vendido hoy?
  2. ¿Qué fracción ha vendido en total?
  3. ¿Qué fracción le queda por vender?
Ver la solución

Después de ayer, le quedaba: $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

a) Hoy vende la mitad de lo que quedaba: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

b) Total vendido: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

c) Queda: $1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

a) $\dfrac{1}{3}$  ·  b) $\dfrac{2}{3}$  ·  c) $\dfrac{1}{3}$

13

Roger ahorra cada mes 150 € de su sueldo. Del sueldo, gasta $\dfrac{1}{5}$ en vivienda y comida, $\dfrac{1}{6}$ en libros y material y $\dfrac{1}{10}$ en su tiempo libre. ¿Cuál es el sueldo de Roger?

Ver la solución

Suma de gastos (denominador común $30$):

$$\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{30} + \dfrac{5}{30} + \dfrac{3}{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$$

El ahorro es el complementario: $1 - \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}$. Y esa parte vale 150 €:

$$\dfrac{8}{15} \cdot S = 150 \quad\Longrightarrow\quad S = 150 \cdot \dfrac{15}{8} = \dfrac{2250}{8} = \dfrac{1125}{4}$$

$S = \dfrac{1125}{4} = 281{,}25\,€$

La solución no es un número redondo, algo raro en un problema de clase. Es posible que alguna fracción original sea distinta (por ejemplo, con $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{6}$ y $\dfrac{1}{10}$ sale $S = 375\,€$). Comprueba el enunciado.
14

De un solar se dedican $\dfrac{2}{5}$ a viviendas, $\dfrac{3}{4}$ del resto a instalaciones deportivas, y los $3200\,\text{m}^2$ que quedan a un parque público. ¿Cuál es la superficie total del solar?

Ver la solución

Después de las viviendas quedan $\dfrac{3}{5}$. Las instalaciones deportivas son $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{20}$ del total.

El parque es lo que queda después de las instalaciones deportivas:

$$1 - \dfrac{2}{5} - \dfrac{9}{20} = \dfrac{20}{20} - \dfrac{8}{20} - \dfrac{9}{20} = \dfrac{3}{20}$$

Esta fracción corresponde a $3200\,\text{m}^2$:

$$\dfrac{3}{20} \cdot S = 3200 \quad\Longrightarrow\quad S = 3200 \cdot \dfrac{20}{3} = \dfrac{64000}{3}\,\text{m}^2$$

$S = \dfrac{64000}{3} \approx 21\,333{,}33\,\text{m}^2$

Tampoco sale un número redondo. Si el parque fueran $1\,200\,\text{m}^2$, la superficie sería $8\,000\,\text{m}^2$ (clásico). Sospecho una errata en el enunciado ($3200 \to 1200$ o alguna fracción distinta).
15

Una excursionista ha recorrido $\dfrac{3}{5}$ de un camino; de la parte hecha, $\dfrac{1}{4}$ a pie y el resto en bicicleta.

  1. ¿Qué parte del camino ha recorrido a pie?
  2. ¿Qué parte del camino ha recorrido en bicicleta?
  3. ¿Qué parte le queda por hacer?
Ver la solución

a) A pie = $\dfrac{1}{4}$ de $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{20}$.

b) Bicicleta = $\dfrac{3}{4}$ de $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{20}$.

c) Queda = $1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Comprobación: $\dfrac{3}{20} + \dfrac{9}{20} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{20} + \dfrac{9}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{20}{20} = 1$ ✓.

a) $\dfrac{3}{20}$  ·  b) $\dfrac{9}{20}$  ·  c) $\dfrac{2}{5}$

En el enunciado impreso pone que ha recorrido $\dfrac{1}{4}$ del camino, pero la solución utiliza $\dfrac{3}{5}$. Hay una contradicción entre el enunciado y la solución. Como la solución utiliza $\dfrac{3}{5}$ de forma coherente, he reescrito el enunciado con $\dfrac{3}{5}$.
16

Contesta justificando la respuesta:

  1. $\dfrac{4}{7}$ de $\dfrac{2}{5}$ de los 105 alumnos de 2º de ESO juegan a baloncesto. ¿Qué fracción juega a baloncesto? ¿Cuántos no juegan?
  2. La mitad de los $\dfrac{3}{4}$ de un número es 18. ¿Cuál es ese número?
  3. ¿Cuántos minutos son $\dfrac{5}{6}$ de $\dfrac{3}{5}$ de hora?
  4. Si doy $\dfrac{3}{7}$ de la mitad de un pastel, ¿qué trozo me queda?
Ver la solución

a) Fracción: $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{35}$. Juegan: $\dfrac{8}{35} \cdot 105 = 24$ alumnos. No juegan: $105 - 24 = 81$ alumnos.

b) $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot x = 18 \Longrightarrow \dfrac{3}{8} x = 18 \Longrightarrow x = 18 \cdot \dfrac{8}{3} = 48$.

c) $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot 60 = \dfrac{15}{30} \cdot 60 = \dfrac{1}{2} \cdot 60 = 30$ minutos.

d) Dado: $\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{14}$. Queda: $1 - \dfrac{3}{14} = \dfrac{11}{14}$.

a) $\dfrac{8}{35}$, $81$ no juegan  ·  b) $48$  ·  c) $30$ minutos  ·  d) $\dfrac{11}{14}$

17

Toni y sus amigos se comieron $\dfrac{3}{5}$ de una coca de brioche. Después, Toni repartió la parte que sobró entre sus 3 vecinos. ¿Qué fracción recibió cada vecino?

Ver la solución

Lo que sobró: $1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Repartido entre 3 vecinos:

$$\dfrac{2}{5} : 3 = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{15}$$

Cada vecino recibe $\dfrac{2}{15}$ de la coca.

18

Eduard compra una colección de libros por 1200 € y elige el pago fraccionado. De entrada paga $\dfrac{1}{6}$ del precio, y al mes siguiente tiene que pagar $\dfrac{3}{5}$ de lo que queda.

  1. ¿Cuánto paga de entrada?
  2. ¿Qué fracción del precio paga al cabo de un mes?
  3. ¿Cuánto habrá pagado hasta entonces?
  4. ¿Qué fracción del total queda por pagar?
Ver la solución

a) Entrada: $\dfrac{1}{6}$ de $1200 = 200\,€$.

b) Después de la entrada queda $\dfrac{5}{6}$. Al mes paga $\dfrac{3}{5}$ de ese resto:

$$\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \text{ del precio total}$$

c) Pago al mes: $\dfrac{1}{2} \cdot 1200 = 600\,€$. Total: $200 + 600 = 800\,€$.

d) Fracción pagada: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. Por tanto, queda $1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

a) $200\,€$  ·  b) $\dfrac{1}{2}$  ·  c) $800\,€$  ·  d) $\dfrac{1}{3}$ (= $400\,€$)

19

Un agricultor riega $\dfrac{2}{5}$ de un campo por la mañana. Por la tarde riega el resto, que son $6\,000\,\text{m}^2$. ¿Cuál es la superficie del campo?

Ver la solución

El resto = $1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$, y esa parte vale $6\,000\,\text{m}^2$:

$$\dfrac{3}{5} \cdot S = 6\,000 \quad\Longrightarrow\quad S = 6\,000 \cdot \dfrac{5}{3} = 10\,000\,\text{m}^2$$

$S = 10\,000\,\text{m}^2$.