5. Ejercicios resueltos (19 sep) · Fracciones

25. Operaciones con fracciones

Calcula y simplifica el resultado.

b) $\displaystyle -\dfrac{3}{24} : \left(-\dfrac{18}{15}\right) \cdot \dfrac{10}{9}$

Simplificamos: $-\dfrac{3}{24} = -\dfrac{1}{8}$, e invertimos la segunda fracción en la división:

= -\dfrac{1}{8} \cdot \left(-\dfrac{15}{18}\right) \cdot \dfrac{10}{9}

Los dos signos negativos se cancelan. Multiplicamos en línea:

= \dfrac{1 \cdot 15 \cdot 10}{8 \cdot 18 \cdot 9} = \dfrac{150}{1296}

Simplificamos dividiendo entre $6$:

\dfrac{25}{216}

d) $\displaystyle \left(\dfrac{19}{3} \cdot \dfrac{27}{25} : \dfrac{5}{6}\right) : \left(-\dfrac{4}{3}\right)$

Operamos dentro del paréntesis (multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha):

\dfrac{19}{3} \cdot \dfrac{27}{25} = \dfrac{513}{75} = \dfrac{171}{25}

\dfrac{171}{25} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{171 \cdot 6}{25 \cdot 5} = \dfrac{1026}{125}

Ahora dividimos entre $-\dfrac{4}{3}$:

\dfrac{1026}{125} \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{3078}{500} = -\dfrac{1539}{250}

-\dfrac{1539}{250}

Efectúa las operaciones resolviendo las divisiones como multiplicaciones y simplifica al máximo.

a) $\displaystyle \dfrac{69}{88} \cdot \dfrac{16}{3} : \left(-\dfrac{4}{121}\right)$

Convertimos la división en una multiplicación por la inversa y descomponemos en factores primos:

= -\dfrac{69 \cdot 16 \cdot 121}{88 \cdot 3 \cdot 4} = -\dfrac{(3 \cdot 23) \cdot 2^4 \cdot 11^2}{(2^3 \cdot 11) \cdot 3 \cdot 2^2}

Cancelamos $3$, $11$ y $2^4$ (arriba y abajo):

= -\dfrac{23 \cdot 11}{2}

-\dfrac{253}{2}

b) $\displaystyle \dfrac{55}{90} : (-33) \cdot \left(-\dfrac{18}{10}\right)$

Escribimos $-33 = -\dfrac{33}{1}$ y lo convertimos en multiplicación:

= \dfrac{55}{90} \cdot \left(-\dfrac{1}{33}\right) \cdot \left(-\dfrac{18}{10}\right) = \dfrac{55 \cdot 18}{90 \cdot 33 \cdot 10}

Descomponemos: $55 = 5 \cdot 11$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $33 = 3 \cdot 11$, $10 = 2 \cdot 5$. Cancelando:

= \dfrac{1}{3 \cdot 5 \cdot 2} = \dfrac{1}{30}

\dfrac{1}{30}

Expresa en forma de una única potencia y, después, calcula el valor.

a) $\displaystyle \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{\!5} \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{\!2} : \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{\!3}$

Misma base: sumamos y restamos exponentes: $5 + 2 - 3 = 4$.

= \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{\!4} = \dfrac{(-2)^4}{3^4} = \dfrac{16}{81}

Como el exponente $4$ es par, el resultado es positivo.

\dfrac{16}{81}

b) $\displaystyle -\left(\dfrac{2}{9}\right)^{\!3} : \left[\left(\dfrac{1}{6}\right)^{\!2} \cdot \dfrac{1}{6}\right]$

El corchete es una única potencia:

\left(\dfrac{1}{6}\right)^{\!2} \cdot \dfrac{1}{6} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\!3}

Tenemos el mismo exponente en las dos bases, así que las agrupamos:

= -\left(\dfrac{2}{9} : \dfrac{1}{6}\right)^{\!3} = -\left(\dfrac{2}{9} \cdot 6\right)^{\!3} = -\left(\dfrac{12}{9}\right)^{\!3} = -\left(\dfrac{4}{3}\right)^{\!3}

Calculamos la potencia:

-\dfrac{64}{27}

Aplica la jerarquía: paréntesis, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas.

33c

\dfrac{5}{6} - \left[\dfrac{1}{6} : \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}\right) - \dfrac{12}{5}\right] - \left(\dfrac{9}{8} - \dfrac{1}{3} : 2\right)

Ver la solución

Resolvemos el paréntesis más interior y la división del último paréntesis:

\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{6 - 5}{30} = \dfrac{1}{30}, \qquad \dfrac{1}{3} : 2 = \dfrac{1}{6}

Sustituimos y continuamos:

= \dfrac{5}{6} - \left[\dfrac{1}{6} : \dfrac{1}{30} - \dfrac{12}{5}\right] - \left(\dfrac{9}{8} - \dfrac{1}{6}\right)

$\dfrac{1}{6} : \dfrac{1}{30} = \dfrac{30}{6} = 5$, y $\dfrac{9}{8} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{27 - 4}{24} = \dfrac{23}{24}$:

= \dfrac{5}{6} - \left[5 - \dfrac{12}{5}\right] - \dfrac{23}{24} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{13}{5} - \dfrac{23}{24}

Como denominador común, $\text{MCM}(6, 5, 24) = 120$:

= \dfrac{100}{120} - \dfrac{312}{120} - \dfrac{115}{120} = \dfrac{-327}{120}

Simplificamos dividiendo entre $3$:

-\dfrac{109}{40}

33d

\left(\dfrac{7}{5} + \dfrac{3}{4} - 3 - \dfrac{12}{48}\right) : \left(\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{15}\right) : \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{3}

Ver la solución

Primer paréntesis (denominador común $20$, recordando que $\dfrac{12}{48} = \dfrac{1}{4}$):

\dfrac{28}{20} + \dfrac{15}{20} - \dfrac{60}{20} - \dfrac{5}{20} = -\dfrac{22}{20} = -\dfrac{11}{10}

Segundo paréntesis (denominador común $30$):

\dfrac{25}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{29}{30}

Resolvemos las divisiones de izquierda a derecha:

-\dfrac{11}{10} : \dfrac{29}{30} = -\dfrac{11 \cdot 30}{10 \cdot 29} = -\dfrac{33}{29}

-\dfrac{33}{29} : \dfrac{4}{5} = -\dfrac{33 \cdot 5}{29 \cdot 4} = -\dfrac{165}{116}

Restamos $\dfrac{2}{3}$ con denominador común $\text{MCM}(116, 3) = 348$:

-\dfrac{165}{116} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{495}{348} - \dfrac{232}{348} = -\dfrac{727}{348}

$\gcd(727, 348) = 1$ (porque $727$ es primo), así que ya es irreducible.

En los apuntes manuscritos aparece $-\dfrac{327}{348}$, pero $-495 - 232 = -727$. El resultado correcto es $-\dfrac{727}{348}$.

-\dfrac{727}{348}