5. Exercicis resolts (19 set) · Fraccions

25. Operacions amb fraccions

Calcula i simplifica el resultat.

b) $\displaystyle -\dfrac{3}{24} : \left(-\dfrac{18}{15}\right) \cdot \dfrac{10}{9}$

Simplifiquem: $-\dfrac{3}{24} = -\dfrac{1}{8}$, i invertim la segona fracció en la divisió:

= -\dfrac{1}{8} \cdot \left(-\dfrac{15}{18}\right) \cdot \dfrac{10}{9}

Els dos signes negatius es cancel·len. Multipliquem en línia:

= \dfrac{1 \cdot 15 \cdot 10}{8 \cdot 18 \cdot 9} = \dfrac{150}{1296}

Simplifiquem dividint per $6$:

\dfrac{25}{216}

d) $\displaystyle \left(\dfrac{19}{3} \cdot \dfrac{27}{25} : \dfrac{5}{6}\right) : \left(-\dfrac{4}{3}\right)$

Operem dins el parèntesi (multiplicacions i divisions d'esquerra a dreta):

\dfrac{19}{3} \cdot \dfrac{27}{25} = \dfrac{513}{75} = \dfrac{171}{25}

\dfrac{171}{25} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{171 \cdot 6}{25 \cdot 5} = \dfrac{1026}{125}

Ara dividim entre $-\dfrac{4}{3}$:

\dfrac{1026}{125} \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{3078}{500} = -\dfrac{1539}{250}

-\dfrac{1539}{250}

Efectua les operacions resolent les divisions com a multiplicació i simplifica al màxim.

a) $\displaystyle \dfrac{69}{88} \cdot \dfrac{16}{3} : \left(-\dfrac{4}{121}\right)$

Convertim la divisió en multiplicació per l'invers i descomponem en factors primers:

= -\dfrac{69 \cdot 16 \cdot 121}{88 \cdot 3 \cdot 4} = -\dfrac{(3 \cdot 23) \cdot 2^4 \cdot 11^2}{(2^3 \cdot 11) \cdot 3 \cdot 2^2}

Cancel·lem $3$, $11$ i $2^4$ (amunt i avall):

= -\dfrac{23 \cdot 11}{2}

-\dfrac{253}{2}

b) $\displaystyle \dfrac{55}{90} : (-33) \cdot \left(-\dfrac{18}{10}\right)$

Escrivim $-33 = -\dfrac{33}{1}$ i convertim en multiplicació:

= \dfrac{55}{90} \cdot \left(-\dfrac{1}{33}\right) \cdot \left(-\dfrac{18}{10}\right) = \dfrac{55 \cdot 18}{90 \cdot 33 \cdot 10}

Descomponem: $55 = 5 \cdot 11$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $33 = 3 \cdot 11$, $10 = 2 \cdot 5$. Cancel·lant:

= \dfrac{1}{3 \cdot 5 \cdot 2} = \dfrac{1}{30}

\dfrac{1}{30}

Expressa en forma de potència única i, després, calcula el valor.

a) $\displaystyle \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{\!5} \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{\!2} : \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{\!3}$

Mateixa base, sumem i restem exponents: $5 + 2 - 3 = 4$.

= \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{\!4} = \dfrac{(-2)^4}{3^4} = \dfrac{16}{81}

Com que l'exponent $4$ és parell, el resultat és positiu.

\dfrac{16}{81}

b) $\displaystyle -\left(\dfrac{2}{9}\right)^{\!3} : \left[\left(\dfrac{1}{6}\right)^{\!2} \cdot \dfrac{1}{6}\right]$

El claudàtor és una potència única:

\left(\dfrac{1}{6}\right)^{\!2} \cdot \dfrac{1}{6} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\!3}

Tenim el mateix exponent en les dues bases, així que les agrupem:

= -\left(\dfrac{2}{9} : \dfrac{1}{6}\right)^{\!3} = -\left(\dfrac{2}{9} \cdot 6\right)^{\!3} = -\left(\dfrac{12}{9}\right)^{\!3} = -\left(\dfrac{4}{3}\right)^{\!3}

Calculem la potència:

-\dfrac{64}{27}

Aplica la jerarquia: parèntesis, multiplicacions/divisions, sumes/restes.

33c

\dfrac{5}{6} - \left[\dfrac{1}{6} : \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}\right) - \dfrac{12}{5}\right] - \left(\dfrac{9}{8} - \dfrac{1}{3} : 2\right)

Veure la solució

Resolem el parèntesi més interior i la divisió de l'últim parèntesi:

\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{6 - 5}{30} = \dfrac{1}{30}, \qquad \dfrac{1}{3} : 2 = \dfrac{1}{6}

Substituïm i continuem:

= \dfrac{5}{6} - \left[\dfrac{1}{6} : \dfrac{1}{30} - \dfrac{12}{5}\right] - \left(\dfrac{9}{8} - \dfrac{1}{6}\right)

$\dfrac{1}{6} : \dfrac{1}{30} = \dfrac{30}{6} = 5$, i $\dfrac{9}{8} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{27 - 4}{24} = \dfrac{23}{24}$:

= \dfrac{5}{6} - \left[5 - \dfrac{12}{5}\right] - \dfrac{23}{24} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{13}{5} - \dfrac{23}{24}

Com a denominador comú, $\text{MCM}(6, 5, 24) = 120$:

= \dfrac{100}{120} - \dfrac{312}{120} - \dfrac{115}{120} = \dfrac{-327}{120}

Simplifiquem dividint per $3$:

-\dfrac{109}{40}

33d

\left(\dfrac{7}{5} + \dfrac{3}{4} - 3 - \dfrac{12}{48}\right) : \left(\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{15}\right) : \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{3}

Veure la solució

Primer parèntesi (denominador comú $20$, recordant $\dfrac{12}{48} = \dfrac{1}{4}$):

\dfrac{28}{20} + \dfrac{15}{20} - \dfrac{60}{20} - \dfrac{5}{20} = -\dfrac{22}{20} = -\dfrac{11}{10}

Segon parèntesi (denominador comú $30$):

\dfrac{25}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{29}{30}

Resolem les divisions d'esquerra a dreta:

-\dfrac{11}{10} : \dfrac{29}{30} = -\dfrac{11 \cdot 30}{10 \cdot 29} = -\dfrac{33}{29}

-\dfrac{33}{29} : \dfrac{4}{5} = -\dfrac{33 \cdot 5}{29 \cdot 4} = -\dfrac{165}{116}

Restem $\dfrac{2}{3}$ amb denominador comú $\text{MCM}(116, 3) = 348$:

-\dfrac{165}{116} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{495}{348} - \dfrac{232}{348} = -\dfrac{727}{348}

$\gcd(727, 348) = 1$ (perquè $727$ és primer), així que ja és irreductible.

Als apunts manuscrits apareix $-\dfrac{327}{348}$, però $-495 - 232 = -727$. El resultat correcte és $-\dfrac{727}{348}$.

-\dfrac{727}{348}