2. Fracciones equivalentes, amplificación y simplificación · Fracciones

Fracciones equivalentes

Definición

Son fracciones con números distintos que representan la misma cantidad.

Ejemplo. $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{6}{8}$ son equivalentes:

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{6}{8}$

La porción pintada es la misma en las dos, así que representan la misma cantidad.

Para ver si dos fracciones son equivalentes

1. Multiplicación en cruz

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar en cruz obtenemos el mismo resultado:

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\;\Longleftrightarrow\;\; a \cdot d = b \cdot c

Ejemplo. Comprobamos que $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$:

3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 \;\;\Longrightarrow\;\; 24 = 24 \;\;\checkmark

Sí son equivalentes.

2. Simplificando

Si al simplificar una fracción llegamos a la otra, también son equivalentes:

\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}

Por tanto, $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{6}{8}$ son equivalentes. (En la sección siguiente veremos cómo simplificar paso a paso.)

Amplificación

Definición

Amplificar es encontrar una fracción equivalente con números más grandes. Para hacerlo, multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo número.

Ejemplo. A partir de $\dfrac{5}{3}$, podemos encontrar muchas fracciones equivalentes:

\dfrac{5}{3} \;\xrightarrow{\,\times 2\,}\; \dfrac{10}{6} \;\xrightarrow{\,\times 3\,}\; \dfrac{15}{9} \;\xrightarrow{\,\times 4\,}\; \dfrac{20}{12} \;= \;\cdots

En cada paso multiplicamos $N$ y $D$ por el mismo número. Así obtenemos infinitas fracciones equivalentes.

Simplificación

Definición

Simplificar es encontrar una fracción equivalente con números más pequeños. Para hacerlo, dividimos el numerador y el denominador entre un divisor común.

Ejemplo. Simplificamos $\dfrac{24}{16}$ paso a paso:

\dfrac{24}{16} \;\xrightarrow{\,\div 2\,}\; \dfrac{12}{8} \;\xrightarrow{\,\div 2\,}\; \dfrac{6}{4} \;\xrightarrow{\,\div 2\,}\; \dfrac{3}{2}

Hemos dividido numerador y denominador entre $2$ tres veces. Si hubiéramos dividido los dos directamente entre $8$ (el mayor divisor posible), habríamos llegado a $\dfrac{3}{2}$ de una sola vez.

Fracción irreducible

Definición

Si dividimos numerador y denominador entre el máximo común divisor $\text{MCD}(N, D)$, el resultado no se puede simplificar más: es la fracción irreducible.

Ejemplo. En el caso anterior, $\text{MCD}(24, 16) = 8$. Dividiendo de una sola vez:

\dfrac{24}{16} \;\xrightarrow{\,\div 8\,}\; \dfrac{3}{2}

$\dfrac{3}{2}$ es la fracción irreducible: $3$ y $2$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$, así que ya no se puede simplificar más.