13. Ejercicios corregidos (25 sep) · Fracciones

27. Potencias con la misma base o el mismo exponente

Expresa en forma de potencia única las operaciones siguientes con potencias y calcula su valor con ayuda de la calculadora.

a) $\displaystyle \left(-\dfrac{3}{2}\right)^5 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 : \left(-\dfrac{3}{2}\right)^3$

Misma base: los exponentes se suman al multiplicar y se restan al dividir.

\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{5+2-3} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{3^4}{2^4} = \dfrac{81}{16}

El exponente es par: el signo menos desaparece.

\left(-\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{81}{16}

c) $\displaystyle \left[\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\right]^3 : \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^4$

Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.

\left(\dfrac{4}{5}\right)^6 : \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^4 = \left(\dfrac{4}{5}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^4

Ahora tienen el mismo exponente: multiplicamos las bases.

\left(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{10}{3}\right)^4 = \left(\dfrac{40}{15}\right)^4 = \left(\dfrac{8}{3}\right)^4 = \dfrac{4096}{81}

\left(\dfrac{8}{3}\right)^4 = \dfrac{4096}{81}

29. Raíz de una fracción

Efectúa las raíces de números fraccionarios propuestas, utilizando la definición de raíz de fracciones. Recuerda indicar el resultado como fracción irreducible.

b) $\displaystyle \sqrt{\dfrac{484}{784}}$

La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la del denominador. Descomponemos los dos números:

484 = 2^2 \cdot 11^2 \qquad 784 = 2^4 \cdot 7^2

Cada pareja de factores iguales sale de la raíz como un solo factor:

\dfrac{\sqrt{484}}{\sqrt{784}} = \dfrac{\sqrt{2^2 \cdot 11^2}}{\sqrt{2^4 \cdot 7^2}} = \dfrac{2 \cdot 11}{2^2 \cdot 7} = \dfrac{22}{28} = \dfrac{11}{14}

\dfrac{11}{14}

34. Operaciones combinadas con potencias y raíces

Efectúa estas operaciones combinadas con fracciones y simplifica el resultado obtenido si es posible.

a) $\displaystyle \left(\dfrac{6}{5}\right)^5 : \left(\dfrac{6}{5}\right)^3 - \sqrt{\dfrac{15}{6}} \cdot \sqrt{\dfrac{49}{40}} + \left[\left(\dfrac{5}{4}\right)^2\right]^{-1}$

Las dos raíces tienen el mismo índice: se pueden juntar en una sola.

\sqrt{\dfrac{15}{6}} \cdot \sqrt{\dfrac{49}{40}} = \sqrt{\dfrac{15 \cdot 49}{6 \cdot 40}} = \sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{7}{4}

Las potencias: misma base en la primera, potencia de una potencia en la última.

\left(\dfrac{6}{5}\right)^{5-3} - \dfrac{7}{4} + \left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} = \dfrac{36}{25} - \dfrac{7}{4} + \dfrac{16}{25}

$\text{MCM}(25, 4) = 100$:

\dfrac{144}{100} - \dfrac{175}{100} + \dfrac{64}{100} = \dfrac{33}{100}

\dfrac{33}{100}

b) $\displaystyle \dfrac{3}{4} : 5 + \left(\dfrac{7}{2}\right)^3 : \left(\dfrac{14}{6}\right)^3 - \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-3}$

Primero las potencias. Las dos del medio tienen el mismo exponente; las dos del final, la misma base:

\left(\dfrac{7}{2} : \dfrac{14}{6}\right)^3 = \left(\dfrac{42}{28}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{27}{8} \qquad \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2-3} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-1} = 5

La división: $\dfrac{3}{4} : 5 = \dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{1} = \dfrac{3}{20}$. Queda:

\dfrac{3}{20} + \dfrac{27}{8} - 5 = \dfrac{6}{40} + \dfrac{135}{40} - \dfrac{200}{40} = -\dfrac{59}{40}

-\dfrac{59}{40}

d) $\displaystyle \sqrt{\dfrac{9}{121}} + \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{24}{25} - \dfrac{1}{2} : \left(-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\right)$

La raíz, la multiplicación (simplificando antes) y el paréntesis:

\sqrt{\dfrac{9}{121}} = \dfrac{3}{11} \qquad \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{24}{25} = \dfrac{5 \cdot 24}{12 \cdot 25} = \dfrac{2}{5} \qquad -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = -\dfrac{5}{12}

La división, en cruz. Menos por menos es más:

-\dfrac{1}{2} : \left(-\dfrac{5}{12}\right) = +\dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}

$\text{MCM}(11, 5) = 55$:

\dfrac{3}{11} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5} = \dfrac{15}{55} + \dfrac{22}{55} + \dfrac{66}{55} = \dfrac{103}{55}

\dfrac{103}{55}