Pregunta 1 · Potències, radicals, logaritmes i polinomis

Simplificació d'expressions amb radicals i potències, propietats dels logaritmes, factorització de polinomis i simplificació de fraccions algebraiques.

Puntuació màxima · 2 punts

Resol cadascun dels apartats. Simplifica al màxim i justifica tots els passos.

Simplifica: $\dfrac{\sqrt[3]{8}\cdot 4^{3/2}\cdot \sqrt{27}}{6^{0}\cdot 9^{1/2}\cdot 2^{-1}}$ 0,5 p
Calcula: $\log_{a}(a^{3}) + \log_{b}\!\left(\dfrac{1}{b^{2}}\right) - \log_{c}\!\left(\dfrac{\sqrt{c}}{c}\right) + \ln(e^{2}) + \log_{d} 1$ 0,5 p
Factoritza completament el polinomi $P(x) = 2x^{4} - x^{3} - 8x^{2} + x + 6$. 0,5 p
Simplifica la fracció algebraica $\dfrac{x^{3} + x^{2} - 4x - 4}{x^{2} + 3x + 2}$. 0,5 p

Bachillerato CCSS · Bloc A & D Potències i logaritmes Polinomis

Correcció pas a pas

Idea clau: escriu cada factor com una potència de base prima (o aplica la definició de logaritme en base pròpia) i, en polinomis, busca arrels racionals amb el teorema del residu abans de fer divisions sintètiques.

a) Simplificació amb radicals i potències

Descomponem cada factor:

\sqrt[3]{8}=2,\quad 4^{3/2}=(2^{2})^{3/2}=2^{3}=8,\quad \sqrt{27}=(3^{3})^{1/2}=3\sqrt{3}

6^{0}=1,\quad 9^{1/2}=3,\quad 2^{-1}=\tfrac{1}{2}

Numerador i denominador:

\text{Num}=2\cdot 8\cdot 3\sqrt{3}=48\sqrt{3},\qquad \text{Den}=1\cdot 3\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}

\dfrac{48\sqrt{3}}{3/2}=48\sqrt{3}\cdot \dfrac{2}{3}=32\sqrt{3}

Resultat: $32\sqrt{3}$.

b) Propietats dels logaritmes

Apliquem la definició de logaritme en base pròpia i $\log_b 1 = 0$:

\log_{a}(a^{3})=3,\qquad \log_{b}\!\left(\tfrac{1}{b^{2}}\right)=\log_b(b^{-2})=-2

Com que $\dfrac{\sqrt{c}}{c}=c^{1/2}\cdot c^{-1}=c^{-1/2}$, aleshores $\log_c(c^{-1/2})=-\tfrac{1}{2}$ i, amb el signe menys de davant, $-\left(-\tfrac{1}{2}\right)=+\tfrac{1}{2}$:

\ln(e^{2})=2,\qquad \log_{d} 1 = 0

3+(-2)+\tfrac{1}{2}+2+0=\dfrac{7}{2}

Resultat: $\dfrac{7}{2}=3{,}5$.

c) Factorització de $P(x)=2x^{4}-x^{3}-8x^{2}+x+6$

Provem arrels racionals candidates $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6,\pm\tfrac{1}{2},\pm\tfrac{3}{2}$:

P(1)=2-1-8+1+6=0\ \Rightarrow\ (x-1)\text{ és factor}

Divisió sintètica: $P(x)=(x-1)(2x^{3}+x^{2}-7x-6)$. Provem $x=-1$ al quocient:

2(-1)^3+(-1)^2-7(-1)-6=-2+1+7-6=0\ \Rightarrow\ (x+1)\text{ és factor}

Nova divisió: $2x^{3}+x^{2}-7x-6=(x+1)(2x^{2}-x-6)$. Resolem $2x^{2}-x-6=0$ (discriminant $1+48=49$):

2x^{2}-x-6=(2x+3)(x-2)

$P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(2x+3)$, amb arrels $x=1,\ x=-1,\ x=2,\ x=-\tfrac{3}{2}$.

d) Simplificació de la fracció algebraica

Factoritzem el numerador agrupant:

x^{3}+x^{2}-4x-4=x^{2}(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^{2}-4)=(x+1)(x-2)(x+2)

I el denominador: $x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$. Simplificant:

\dfrac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+2)}=x-2

Resultat: $x-2$, amb valors no permesos $x\neq -1$ i $x\neq -2$.