Pregunta 5 · Menjar a l'alberg d'animals

Avaluació d'una cúbica en punts concrets, resolució d'una equació factoritzable i extrems en un interval tancat.

Puntuació màxima · 2 punts

El nombre de quilograms de menjar que han gastat en un alberg d'animals durant una setmana concreta es pot calcular mitjançant la funció

f(t) = 10\!\left(-\dfrac{t^{3}}{8} + \dfrac{3t^{2}}{2} - \dfrac{9t}{2} + 10\right),

on $t$ és el temps en dies i va des del dia $t = 1$ (dilluns) fins al dia $t = 8$ (dilluns de la setmana següent).

Calcula quants quilograms de menjar es van gastar el primer dilluns i el dilluns següent. Troba quin dia d'aquella setmana es van gastar 100 kg de menjar. 0,8 p
Determina els dies de la setmana en què la despesa de menjar va ser més gran i els dies en què va ser més petita. Quants quilograms de menjar es van gastar aquests dies? 1,2 p

Bachillerato CCSS · Bloc D Cúbica + extrems

Correcció pas a pas

Idea clau: per als extrems en un interval tancat $[1, 8]$, hem de comparar els valors de $f$ als punts crítics interiors ($f'(t) = 0$) i als extrems de l'interval. La derivada simplificada surt molt neta: $f'(t) = -\tfrac{15}{4}(t-2)(t-6)$.

a) Valors a $t=1$, $t=8$ i quan $f(t) = 100$

Valor el primer dilluns ($t = 1$):

f(1) = 10\!\left(-\tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{2} - \tfrac{9}{2} + 10\right) = 10 \cdot \tfrac{55}{8} = \tfrac{550}{8} = 68{,}75 \text{ kg}

Valor el dilluns següent ($t = 8$):

f(8) = 10\!\left(-\tfrac{512}{8} + \tfrac{3 \cdot 64}{2} - \tfrac{9 \cdot 8}{2} + 10\right) = 10\,(-64 + 96 - 36 + 10) = 60 \text{ kg}

Per saber quan es van gastar 100 kg, plantegem $f(t) = 100$:

10\!\left(-\tfrac{t^3}{8} + \tfrac{3t^2}{2} - \tfrac{9t}{2} + 10\right) = 100 \;\Longleftrightarrow\; -\tfrac{t^3}{8} + \tfrac{3t^2}{2} - \tfrac{9t}{2} = 0

Multipliquem per $-8$: $t^3 - 12t^2 + 36t = 0$, és a dir, $t(t^2 - 12t + 36) = 0$, i $t^2 - 12t + 36 = (t-6)^2$. Per tant:

t \cdot (t - 6)^2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; t = 0 \text{ (fora de l'interval)} \text{ o } t = 6

Comprovació: $f(6) = 10(-27 + 54 - 27 + 10) = 100 \checkmark$. El dia 6 és el dissabte.

$f(1) = 68{,}75$ kg, $f(8) = 60$ kg, i $f(t) = 100$ kg el dissabte ($t = 6$).

b) Dies de despesa màxima i mínima

Derivem la funció:

f'(t) = 10\!\left(-\tfrac{3t^2}{8} + 3t - \tfrac{9}{2}\right) = -\tfrac{15}{4}\,(t^2 - 8t + 12) = -\tfrac{15}{4}\,(t-2)(t-6)

Punts crítics: $t = 2$ i $t = 6$. Estudi del signe (factor $-\tfrac{15}{4}$ negatiu, $(t-2)(t-6)$ paràbola que obre cap amunt):

A $(1, 2)$: $(t-2)(t-6) > 0 \Rightarrow f'(t) < 0$. Decreixent.
A $(2, 6)$: $(t-2)(t-6) < 0 \Rightarrow f'(t) > 0$. Creixent.
A $(6, 8)$: $(t-2)(t-6) > 0 \Rightarrow f'(t) < 0$. Decreixent.

Per tant: mínim relatiu a $t=2$ (dimarts) i màxim relatiu a $t=6$ (dissabte).

Avaluem als punts crítics i als extrems:

f(2) = 10\,(-1 + 6 - 9 + 10) = 60 \text{ kg, } \quad f(6) = 100 \text{ kg.}

Combinant amb els valors dels extrems trobats abans:

$f(1) = 68{,}75$ · $f(2) = 60$ · $f(6) = 100$ · $f(8) = 60$.
Màxim absolut a $[1, 8]$: $f(6) = 100$ kg → dissabte.
Mínim absolut: $f(2) = f(8) = 60$ kg → dimarts i el dilluns següent.

El dia de més despesa va ser dissabte amb $100$ kg. Els dies de menys despesa van ser dimarts i el dilluns següent, els dos amb $60$ kg.