Pregunta 4 · Model quadràtic de facturació
Construcció d'un model $f(t) = at^2 + bt + c$ a partir de tres dades, distinció entre interpolació i extrapolació, i mínim del model.
Puntuació màxima · 2 puntsL'evolució de la facturació d'una empresa durant els mesos del 2025 va seguir un model quadràtic. La taula adjunta dona les dades; el mes 0 és la última facturació de l'any 2024.
| Mes | $0$ | $4$ | $10$ |
|---|---|---|---|
| Facturació (milers €) | $900$ | $600$ | $1\,200$ |
- Troba una estimació del mes de gener (mes $1$) amb el model quadràtic i digues si és una interpolació o una extrapolació. 0,7 p
- Troba una estimació del mes de desembre (mes $12$) amb el model quadràtic i digues si és una interpolació o una extrapolació. 0,7 p
- Utilitzant el model, aproximadament, digues quin mes va tenir la facturació mínima. 0,6 p
Correcció pas a pas
Idea clau: el model és $f(t) = at^2 + bt + c$. Substituïm les tres dades per obtenir un sistema 3×3 amb incògnites $a$, $b$ i $c$. Després apliquem el model: interpolació si el valor de $t$ que es vol estimar està dins del rang observat $[0, 10]$, extrapolació si està fora.
· Construcció del model
De $f(0) = 900$ surt directament $c = 900$. Ens queden dues equacions:
Restant la primera de la segona: $6a = 105 \Rightarrow a = \tfrac{105}{6} = 17{,}5$. Llavors $b = -75 - 4 \cdot 17{,}5 = -145$.
a) Estimació del mes de gener (mes $1$)
Com que $1 \in [0, 10]$ (rang observat), és una interpolació.
b) Estimació del mes de desembre (mes $12$)
Com que $12 > 10$ (fora del rang observat), és una extrapolació.
c) Mes amb la facturació mínima
El coeficient principal és $a = 17{,}5 > 0$, així que la paràbola obre cap amunt i el seu vèrtex és el mínim. Vèrtex a:
Aquest valor cau entre els mesos 4 i 5, però molt a prop del 4. La facturació mínima del model es dona aproximadament a l'abril (mes $4$), amb un valor estimat: