Pregunta 3 · $f(x) = |x^2 - 1|$ com a funció a trossos
Definició a trossos d'una funció amb valor absolut i representació gràfica via taula de valors.
Puntuació màxima · 2 punts- La funció $f(x) = |x^2 - 1|$ es pot expressar com una funció definida a trossos. Expressa-la com una funció definida a trossos i fes la gràfica de la funció fent les taules de valors necessàries. 2 p
Bachillerato CCSS · Bloc D
Valor absolut + funcions a trossos
Correcció pas a pas
Idea clau: $|A| = A$ si $A \ge 0$ i $|A| = -A$ si $A < 0$. Aquí cal estudiar el signe de $A = x^2 - 1$.
· Estudi del signe de $x^2 - 1$
$x^2 - 1 = 0 \Longleftrightarrow x = \pm 1$. La paràbola $y = x^2 - 1$ obre cap amunt i talla l'eix $x$ a $-1$ i $1$. Per tant:
- $x^2 - 1 \ge 0$ a $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.
- $x^2 - 1 < 0$ a $(-1, 1)$.
· Definició a trossos
$$f(x) = |x^2 - 1| = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{si } x \le -1 \text{ o } x \ge 1, \\ -(x^2 - 1) = 1 - x^2, & \text{si } -1 < x < 1. \end{cases}$$
Als punts de canvi $x = \pm 1$ totes dues expressions valen $0$, així que la funció és contínua.
· Taula de valors i gràfica
Com que $f$ és parella ($|(-x)^2-1| = |x^2-1|$), n'hi ha prou de calcular valors per a $x \ge 0$ i reflectir.
| $x$ | $-2$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $3$ | $1{,}25$ | $0$ | $0{,}75$ | $1$ | $0{,}75$ | $0$ | $1{,}25$ | $3$ |
En blau, els trams $x^2-1$ ($x\le -1$ i $x\ge 1$). En verd, el tram reflectit $1-x^2$ ($-1\le x\le 1$). Els dos talls amb l'eix $x$ són a $x=\pm 1$, i el màxim local del tram central és a $(0,1)$.
$f(x) = \begin{cases} x^2-1 & \text{si } |x|\ge 1, \\ 1-x^2 & \text{si } |x|<1. \end{cases}$ La gràfica reflecteix els trams negatius de $y=x^2-1$ cap amunt; toca l'eix $x$ a $\pm 1$ i té un cim a $(0,1)$.