Pregunta 2 · Funció imparella, monotonia i extrems

· Trobant la funció imparella

Per a cada funció de la pregunta 1, calculem $f(-x)$ i la comparem amb $-f(x)$.

• $f_1(x) = 2x^3 + 24x$: $f_1(-x) = 2(-x)^3 + 24(-x) = -2x^3 - 24x = -(2x^3 + 24x) = -f_1(x)$. És imparella. ✓
• $f_2(x) = \dfrac{2x}{x-1}$: $f_2(-x) = \dfrac{-2x}{-x-1} = \dfrac{2x}{x+1} \neq -f_2(x)$. No és imparella.
• $f_3(x) = e^x(x^2+4x)$: el factor $e^x$ no té cap simetria, així que $f_3(-x)$ no coincideix amb $-f_3(x)$. No és imparella.
• $f_4(x) = \ln x$: el seu domini és $(0,\infty)$, que no és simètric respecte de l'origen. Per definició, no pot ser imparella.

Per tant la funció imparella és $f_1(x) = 2x^3 + 24x$.

· Monotonia i extrems de $f_1(x) = 2x^3 + 24x$

Ja teníem la derivada de la pregunta 1:

El polinomi $6x^2 + 24$ és sempre estrictament positiu (suma d'un quadrat $\ge 0$ i una constant positiva), per tant $f_1'(x) > 0$ per a tot $x \in \mathbb{R}$.

Conclusions:

• $f_1$ és estrictament creixent a tot $\mathbb{R}$.
• No hi ha cap valor on $f_1'(x) = 0$, així que no té màxims ni mínims relatius.
• Com que el seu domini és $\mathbb{R}$ i és creixent sense fita, tampoc té extrems absoluts.

Coherència amb la simetria: una funció imparella i monòtona creixent passa pel $(0,0)$ i no pot tenir extrems — qualsevol "valle" a la part negativa hauria de tenir un "pico" simètric a la part positiva, i ja sabem que la derivada no canvia mai de signe.