Pregunta 1 · Derivades i punts crítics
Regles de derivació (potència, quocient, producte, exponencial, logarítmica) i identificació de punts crítics.
Puntuació màxima · 2 puntsDeriva les funcions següents i, si en té, troba en cada cas els seus punts crítics.
- $f_1(x) = 2x^3 + 24x$ 0,5 p
- $f_2(x) = \dfrac{2x}{x-1}$ 0,5 p
- $f_3(x) = e^{x} \cdot (x^2 + 4x)$ 0,5 p
- $f_4(x) = \ln x$ 0,5 p
Correcció pas a pas
Idea clau: els punts crítics d'una funció derivable són els valors $x_0$ on $f'(x_0) = 0$ (extrems candidats) o on $f'$ no existeix (i $f$ sí). Per a funcions racionals, exponencials o logarítmiques, també cal tenir en compte el domini.
a) $f_1(x) = 2x^3 + 24x$
Derivem terme a terme aplicant la regla de la potència:
Els punts crítics es donen on $f_1'(x) = 0$:
Aquesta equació no té solucions reals, per tant $f_1$ no té punts crítics. Com que $f_1'(x) = 6x^2 + 24 > 0$ per a tot $x$, la funció és estrictament creixent a $\mathbb{R}$.
b) $f_2(x) = \dfrac{2x}{x-1}$
Apliquem la regla del quocient: si $f = \dfrac{u}{v}$, llavors $f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Aquí $u = 2x \Rightarrow u' = 2$ i $v = x-1 \Rightarrow v' = 1$.
Domini: $x \neq 1$. La derivada $\tfrac{-2}{(x-1)^2}$ és sempre estrictament negativa al seu domini, per tant no s'anul·la mai. La funció és decreixent a $(-\infty, 1)$ i a $(1, +\infty)$.
c) $f_3(x) = e^{x} \cdot (x^2 + 4x)$
Apliquem la regla del producte: $(uv)' = u'v + uv'$ amb $u = e^x \Rightarrow u' = e^x$ i $v = x^2 + 4x \Rightarrow v' = 2x + 4$.
Com que $e^x > 0$ per a tot $x$, els punts crítics surten de $x^2 + 6x + 4 = 0$:
Numèricament: $x_1 = -3 - \sqrt{5} \approx -5{,}24$ i $x_2 = -3 + \sqrt{5} \approx -0{,}76$.
d) $f_4(x) = \ln x$
La derivada del logaritme natural és coneguda:
Domini de $f_4$: $x > 0$. La derivada $\tfrac{1}{x}$ és sempre positiva al domini, per tant no s'anul·la mai i la funció és estrictament creixent a $(0, +\infty)$.