Pregunta 8 · Lectura d'una gràfica
Lectura directa del domini, imatge, antiimatges i una composició a partir de la gràfica donada.
Puntuació màxima · 1 puntDonada la gràfica de la funció $f(x)$ següent, respon les preguntes:
- Dona el domini. 0,2 p
- Dona el conjunt imatge. 0,2 p
- Calcula $(f \circ f)(-1)$. 0,2 p
- Troba la imatge de $-4$. 0,2 p
- Troba les antiimatges de $-10$ (aproximadament). 0,2 p
Correcció pas a pas
Idea clau: la gràfica té dues branques separades per una asímptota vertical a $x = -2$. La branca dreta surt de $+\infty$ a $x \to -2^{+}$, baixa fins a un mínim vora $(0, 0)$ i creix cap a $+\infty$ a la dreta. La branca esquerra té un màxim vora $(-4, -6)$ i baixa cap a $-\infty$ tant a l'esquerra com cap a l'asímptota. Llegim els valors aproximats sobre la quadrícula.
a) Domini
La gràfica està definida a totes les $x$ de la quadrícula excepte al voltant de $x = -2$ (asímptota vertical):
b) Conjunt imatge
Branca esquerra: arriba com a màxim a $y \approx -6$ i baixa fins a $-\infty$. Branca dreta: arriba com a mínim a $y \approx 0$ (vora $x = 0$) i creix fins a $+\infty$.
c) $(f \circ f)(-1)$
Llegim $f(-1)$ sobre la branca dreta: $x=-1$ és a prop de l'asímptota i el traç està caient ràpidament; el valor és aproximadament $f(-1) \approx 1$. Després, $f(1)$ és a la mateixa branca, just després del mínim: $f(1) \approx 1$.
d) Imatge de $-4$
$x = -4$ és justament al màxim de la branca esquerra. La gràfica hi mostra un valor de $y \approx -6$.
e) Antiimatges de $-10$
Busquem $x$ tals que $f(x) = -10$. La branca dreta no baixa mai a $-10$ (el seu mínim és $\approx 0$), per tant només hi ha solucions a la branca esquerra. El traç hi creua $y = -10$ dues vegades:
- A l'esquerra del màxim, prop de $x \approx -10$.
- Entre el màxim i l'asímptota, prop de $x \approx -3$.