Pregunta 7 · Quadràtica per tres punts: eix i vèrtex
Plantegem un sistema 3×3 per determinar la quadràtica i extreure'n l'eix de simetria i el vèrtex.
Puntuació màxima · 2 punts- Troba l'eix de simetria i el vèrtex de la funció quadràtica que passa pels punts de coordenades $(0,1)$, $(-1,3)$ i $(2,9)$. 2 p
Bachillerato CCSS · Bloc D
Quadràtica per tres punts
Correcció pas a pas
Idea clau: escrivim la quadràtica com $y = ax^{2} + bx + c$. Cada punt dona una equació; resolem el sistema 3×3 per a $a$, $b$ i $c$. Després, eix de simetria $x = -\tfrac{b}{2a}$ i el vèrtex és el punt de la paràbola en aquest valor.
· Sistema 3×3
Substituïm cada punt:
$$\left\{\begin{array}{l} (0,1):\;\; c = 1 \\ (-1,3):\;\; a - b + c = 3 \\ (2,9):\;\; 4a + 2b + c = 9 \end{array}\right.$$
Amb $c = 1$, ens queda:
$$\left\{\begin{array}{l} a - b = 2 \\ 2a + b = 4 \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; 3a = 6 \Rightarrow a = 2, \; b = 0.$$
Per tant la quadràtica és $y = 2x^{2} + 1$.
· Eix de simetria i vèrtex
L'eix de simetria és $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{4} = 0$. Llavors $y(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$, així que el vèrtex és $(0,\,1)$.
Coherent: la paràbola és $y = 2x^{2} + 1$, que té vèrtex al punt més baix (mínim absolut, perquè $a > 0$) i és simètrica respecte de l'eix $y$.
Quadràtica: $y = 2x^{2} + 1$. Eix de simetria: $x = 0$. Vèrtex: $(0,\,1)$.