Pregunta 6 · Cúbica: derivada, monotonia i extrems
Aplicació de la primera derivada per estudiar el creixement i la classificació d'extrems d'una cúbica.
Puntuació màxima · 2 punts- Deriva la funció $f(x) = x^{3} + 2x^{2} - 4x + 1$. Troba els punts crítics, estudia la monotonia i classifica els extrems. 2 p
Bachillerato CCSS · Bloc D
Derivades + monotonia
Correcció pas a pas
Idea clau: els punts crítics surten de $f'(x) = 0$. Per classificar-los, podem mirar el signe de $f'$ a cada banda o aplicar el criteri de la segona derivada: si $f''(x_{0}) > 0$ → mínim, si $f''(x_{0}) < 0$ → màxim.
· Derivada i punts crítics
$$f'(x) = 3x^{2} + 4x - 4.$$
Resolem $3x^{2} + 4x - 4 = 0$:
$$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \dfrac{-4 \pm 8}{6} \;\Longrightarrow\; x = -2 \text{ o } x = \tfrac{2}{3}.$$
· Signe de $f'$ i monotonia
$f'(x) = 3(x+2)(x-\tfrac{2}{3})$ és una paràbola que obre cap amunt. Per tant:
- $f'(x) > 0$ a $(-\infty, -2)$: creixent.
- $f'(x) < 0$ a $(-2, \tfrac{2}{3})$: decreixent.
- $f'(x) > 0$ a $(\tfrac{2}{3}, +\infty)$: creixent.
· Classificació amb la segona derivada
$f''(x) = 6x + 4$. Avaluem als punts crítics:
- $f''(-2) = -12 + 4 = -8 < 0$ → màxim a $x = -2$.
- $f''(\tfrac{2}{3}) = 4 + 4 = 8 > 0$ → mínim a $x = \tfrac{2}{3}$.
Coordenades dels extrems:
$$f(-2) = -8 + 8 + 8 + 1 = 9, \quad f(\tfrac{2}{3}) = \tfrac{8}{27} + \tfrac{8}{9} - \tfrac{8}{3} + 1 = -\tfrac{13}{27}.$$
Màxim relatiu a $(-2,\,9)$. Mínim relatiu a $\left(\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{13}{27}\right) \approx (0{,}67,\,-0{,}48)$.