Pregunta 5 · Comprovació $(f \circ f^{-1})(x) = x$
Substitució i simplificació amb la inversa trobada a la pregunta 2.
Puntuació màxima · 1 punt- Comprova que $(f \circ f^{-1})(x) = x$, on $f(x) = \dfrac{-x+1}{2x+6}$ i $f^{-1}(x) = \dfrac{1-6x}{2x+1}$ (calculada a la pregunta 2). 1 p
Bachillerato CCSS · Bloc D
Inversa + composició
Correcció pas a pas
Idea clau: per comprovar $(f \circ f^{-1})(x) = x$ substituïm $f^{-1}(x) = \dfrac{1-6x}{2x+1}$ dins de $f$ i simplifiquem fins arribar a $x$.
· Substitució i simplificació
Comencem:
$$(f \circ f^{-1})(x) = f\!\left(\dfrac{1-6x}{2x+1}\right) = \dfrac{-\dfrac{1-6x}{2x+1} + 1}{2 \cdot \dfrac{1-6x}{2x+1} + 6}.$$
Posem numerador i denominador amb denominador comú $2x+1$:
$$\text{Num: } \dfrac{-(1-6x) + (2x+1)}{2x+1} = \dfrac{-1 + 6x + 2x + 1}{2x+1} = \dfrac{8x}{2x+1}.$$
$$\text{Den: } \dfrac{2(1-6x) + 6(2x+1)}{2x+1} = \dfrac{2 - 12x + 12x + 6}{2x+1} = \dfrac{8}{2x+1}.$$
El quocient es simplifica perquè el factor $(2x+1)$ es cancel·la:
$$(f \circ f^{-1})(x) = \dfrac{\,8x/(2x+1)\,}{\,8/(2x+1)\,} = \dfrac{8x}{8} = x.$$
$(f \circ f^{-1})(x) = x$ ✓ (per a tot $x$ del domini comú $\mathbb{R} \setminus \{-\tfrac{1}{2}\}$).