Pregunta 1 · Operacions amb radicals, potències i logaritmes

Simplificació, racionalització i propietats bàsiques de potències i logaritmes.

Puntuació màxima · 3 punts

Expressa el resultat, operant pas a pas, de les operacions següents simplificant i/o racionalitzant.

$\dfrac{9\sqrt{8} - 3\sqrt{72}}{\sqrt{2}} + \sqrt{49} - \left(27^{1/3}\right)\!\left(8^{2/3}\right)$ 0,5 p
$\log\!\left(\dfrac{100\sqrt{10}}{0{,}01}\right) - \log(10^{3})$ 0,5 p
$\log_{2} 32 - \log_{2}\!\left(\dfrac{1}{8}\right) + \log_{2}\!\left(\sqrt{2}\right)$ 0,5 p
$\dfrac{5^{-2} \cdot \sqrt{125}}{\,(1/25)^{1{,}5}\,}$ 0,5 p
$\log_{3}\!\left(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{27}\right)$ 0,5 p
$\dfrac{4}{2 - \sqrt{3}}$ (racionalitza el denominador) 0,5 p

Bachillerato CCSS · Bloc A Radicals + log

Correcció pas a pas

Idea clau: totes aquestes expressions es resolen passant-ho a base comuna (radicals a $\sqrt{2}$, potències a $5$ o $3$, logaritmes a la mateixa base) i aplicant les propietats: $a^{m} a^{n} = a^{m+n}$, $\log_{b}(xy) = \log_{b} x + \log_{b} y$, etc.

a) $\dfrac{9\sqrt{8} - 3\sqrt{72}}{\sqrt{2}} + \sqrt{49} - \left(27^{1/3}\right)\!\left(8^{2/3}\right)$

Simplifiquem cada radical: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$, $\sqrt{49} = 7$, $27^{1/3} = 3$, $8^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 4$.

\dfrac{9 \cdot 2\sqrt{2} - 3 \cdot 6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{18\sqrt{2} - 18\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 0.

Substituïm: $0 + 7 - 3 \cdot 4 = 7 - 12$.

$= -5$.

b) $\log\!\left(\dfrac{100\sqrt{10}}{0{,}01}\right) - \log(10^{3})$

Posem-ho tot en base $10$: $100 = 10^{2}$, $\sqrt{10} = 10^{1/2}$, $0{,}01 = 10^{-2}$.

\log\!\left(\dfrac{10^{2} \cdot 10^{1/2}}{10^{-2}}\right) = \log(10^{2+1/2-(-2)}) = \log(10^{9/2}) = \tfrac{9}{2}.

I $\log(10^{3}) = 3$. Restem:

$\tfrac{9}{2} - 3 = \tfrac{3}{2}$.

c) $\log_{2} 32 - \log_{2}\!\left(\tfrac{1}{8}\right) + \log_{2}\!\left(\sqrt{2}\right)$

Tot en potències de $2$: $32 = 2^{5}$, $\tfrac{1}{8} = 2^{-3}$, $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

\log_{2}(2^{5}) - \log_{2}(2^{-3}) + \log_{2}(2^{1/2}) = 5 - (-3) + \tfrac{1}{2} = 8 + \tfrac{1}{2}.

$= \tfrac{17}{2}$.

d) $\dfrac{5^{-2} \cdot \sqrt{125}}{(1/25)^{1{,}5}}$

Tot en base $5$: $\sqrt{125} = 5^{3/2}$ i $(1/25)^{1{,}5} = (5^{-2})^{3/2} = 5^{-3}$.

\dfrac{5^{-2} \cdot 5^{3/2}}{5^{-3}} = 5^{-2 + 3/2 - (-3)} = 5^{5/2}.

I $5^{5/2} = 5^{2} \cdot 5^{1/2} = 25\sqrt{5}$.

$= 25\sqrt{5}$.

e) $\log_{3}\!\left(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{27}\right)$

$\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$ i $\sqrt{27} = (3^{3})^{1/2} = 3^{3/2}$. Producte $= 3^{1/3 + 3/2} = 3^{11/6}$.

\log_{3}(3^{11/6}) = \tfrac{11}{6}.

$= \tfrac{11}{6}$.

f) $\dfrac{4}{2 - \sqrt{3}}$ (racionalitzar)

Multipliquem numerador i denominador pel conjugat $2 + \sqrt{3}$:

\dfrac{4}{2 - \sqrt{3}} \cdot \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{4(2+\sqrt{3})}{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \dfrac{4(2+\sqrt{3})}{4 - 3} = 4(2+\sqrt{3}).

$= 8 + 4\sqrt{3}$.