Pregunta 1 · Equacions

Sis equacions amb radicals, valor absolut, logaritmes i exponencials; a l'examen calia escollir-ne 5.

Puntuació màxima · 10 punts

Fes 5 de les següents 6 equacions. Cada equació val 2 punts a l'examen.

$\sqrt{x+1} + 2 = \sqrt{2x+1}$ 2 p
$|x+1| - |x-2| = x - 1$ 2 p
$\log_{2}(x+1) - \log_{2}(x-1) = 1 - 4\log_{2}\sqrt{x-2}$ 2 p
$3^{x-2} + 3^{x} - 2 \cdot 3^{x-1} = 108$ 2 p
$2 \cdot 16^{x-1} - 5 \cdot 4^{x} + 48 = 0$ 2 p
$|x-1| = \sqrt{x-1}$ 2 p

Bachillerato CCSS · Bloc D Equacions diverses

Correcció pas a pas

Idea clau: aïllem la part complicada (radical, exponencial, logaritme, valor absolut), apliquem la transformació inversa (elevar al quadrat, canvi de variable, propietats de logaritmes, casos del valor absolut) i verifiquem les solucions perquè aquests passos poden afegir solucions estranyes.

a) $\sqrt{x+1} + 2 = \sqrt{2x+1}$

Aïllem un radical i elevem al quadrat:

\sqrt{2x+1} - \sqrt{x+1} = 2 \;\Longrightarrow\; (2x+1) - 2\sqrt{(2x+1)(x+1)} + (x+1) = 4.

Simplifiquem: $3x + 2 - 2\sqrt{(2x+1)(x+1)} = 4 \;\Rightarrow\; 2\sqrt{(2x+1)(x+1)} = 3x - 2$.

Ara cal $3x - 2 \ge 0$, és a dir $x \ge \tfrac{2}{3}$. Tornem a elevar al quadrat:

4(2x+1)(x+1) = (3x-2)^{2} \;\Longleftrightarrow\; 8x^{2} + 12x + 4 = 9x^{2} - 12x + 4 \;\Longleftrightarrow\; x^{2} - 24x = 0.

$x(x-24) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 24$. Descartem $x = 0$ perquè $3 \cdot 0 - 2 = -2 < 0$. Verifiquem $x = 24$: $\sqrt{25} + 2 = 5 + 2 = 7 = \sqrt{49}$ ✓.

$x = 24$.

b) $|x+1| - |x-2| = x - 1$

Punts crítics: $x = -1$ i $x = 2$. Tres trams:

$x < -1$: $|x+1| = -(x+1)$, $|x-2| = -(x-2)$. LHS $= -(x+1) + (x-2) = -3$. Equació $-3 = x-1 \Rightarrow x = -2$ ✓ (és $<-1$).
$-1 \le x < 2$: $|x+1| = x+1$, $|x-2| = -(x-2)$. LHS $= (x+1) + (x-2) = 2x-1$. Equació $2x-1 = x-1 \Rightarrow x = 0$ ✓ (és en l'interval).
$x \ge 2$: $|x+1| = x+1$, $|x-2| = x-2$. LHS $= (x+1) - (x-2) = 3$. Equació $3 = x-1 \Rightarrow x = 4$ ✓ (és $\ge 2$).

Verificacions ràpides: $|{-1}| - |{-4}| = 1 - 4 = -3 = -2-1$ ✓; $|1| - |{-2}| = 1 - 2 = -1 = 0 - 1$ ✓; $|5| - |2| = 3 = 4 - 1$ ✓.

$x \in \{-2,\, 0,\, 4\}$.

c) $\log_{2}(x+1) - \log_{2}(x-1) = 1 - 4\log_{2}\sqrt{x-2}$

Domini: $x+1>0$, $x-1>0$ i $x-2>0$ → $x > 2$. Notem que $4\log_{2}\sqrt{x-2} = 4 \cdot \tfrac{1}{2}\log_{2}(x-2) = 2\log_{2}(x-2) = \log_{2}((x-2)^{2})$. L'equació esdevé:

\log_{2}\!\dfrac{x+1}{x-1} = \log_{2} 2 - \log_{2}((x-2)^{2}) = \log_{2}\!\dfrac{2}{(x-2)^{2}}.

Igualem arguments:

\dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{2}{(x-2)^{2}} \;\Longleftrightarrow\; (x+1)(x-2)^{2} = 2(x-1).

Desenvolupant: $x^{3} - 3x^{2} + 4 = 2x - 2 \Rightarrow x^{3} - 3x^{2} - 2x + 6 = 0$. Provem $x = 3$: $27 - 27 - 6 + 6 = 0$ ✓. Per Ruffini: $x^{3} - 3x^{2} - 2x + 6 = (x-3)(x^{2} - 2)$. Les altres arrels són $x = \pm\sqrt{2}$, fora del domini.

Verificació de $x=3$: $\log_{2} 4 - \log_{2} 2 = 2 - 1 = 1$, i $1 - 4\log_{2}\sqrt{1} = 1 - 0 = 1$ ✓.

$x = 3$.

d) $3^{x-2} + 3^{x} - 2 \cdot 3^{x-1} = 108$

Treiem factor comú $3^{x-2}$:

3^{x-2}\,(1 + 3^{2} - 2 \cdot 3) = 3^{x-2} \cdot (1 + 9 - 6) = 3^{x-2} \cdot 4 = 108.

$3^{x-2} = 27 = 3^{3} \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$. Verificació: $3^{3} + 3^{5} - 2\cdot 3^{4} = 27 + 243 - 162 = 108$ ✓.

$x = 5$.

e) $2 \cdot 16^{x-1} - 5 \cdot 4^{x} + 48 = 0$

$16^{x-1} = \dfrac{16^{x}}{16} = \dfrac{(4^{x})^{2}}{16}$. Canvi de variable $y = 4^{x}$:

\dfrac{2 y^{2}}{16} - 5y + 48 = 0 \;\Longleftrightarrow\; y^{2} - 40y + 384 = 0.

$y = \dfrac{40 \pm \sqrt{1600 - 1536}}{2} = \dfrac{40 \pm 8}{2} = 24$ o $16$.

$4^{x} = 16 \Rightarrow x = 2$. $4^{x} = 24 \Rightarrow x = \log_{4} 24 = \dfrac{\log_{2} 24}{2} = \dfrac{3 + \log_{2} 3}{2} \approx 2{,}292$.

Verificació de $x = 2$: $2 \cdot 16 - 5 \cdot 16 + 48 = 32 - 80 + 48 = 0$ ✓.

$x = 2$ i $x = \log_{4} 24 \approx 2{,}292$.

f) $|x-1| = \sqrt{x-1}$

Per a què la $\sqrt{}$ tingui sentit cal $x - 1 \ge 0$, és a dir $x \ge 1$. Aleshores $|x-1| = x - 1$, i l'equació queda:

x - 1 = \sqrt{x-1}.

Sigui $u = \sqrt{x-1} \ge 0$, així $x - 1 = u^{2}$ i l'equació esdevé $u^{2} = u \Rightarrow u(u-1) = 0$.

$u = 0 \Rightarrow x = 1$, $u = 1 \Rightarrow x = 2$. Verificació: $|0| = 0 = \sqrt{0}$ ✓; $|1| = 1 = \sqrt{1}$ ✓.

$x = 1$ i $x = 2$.