1 Equacions polinòmiques
Resol les següents equacions polinòmiques. Recorda factoritzar (treure factor comú, productes notables, Ruffini) abans de buscar les arrels.
$3x^{3} + 2x - 1 = 2 \cdot (x^{3} - 2x^{2}) + 6$
Mostrar solució
Desenvolupem el RHS i passem tot a un costat:
$3x^{3} + 2x - 1 = 2x^{3} - 4x^{2} + 6 \;\Longrightarrow\; x^{3} + 4x^{2} + 2x - 7 = 0$.
Provem $x = 1$: $1 + 4 + 2 - 7 = 0$ ✓. Per Ruffini: $(x-1)(x^{2} + 5x + 7) = 0$.
El factor quadràtic té discriminant $25 - 28 = -3 < 0$, sense arrels reals.
$x^{3} - 2x^{2} = 3x - 6$
Mostrar solució
Reagrupem: $x^{3} - 2x^{2} - 3x + 6 = 0$. Factoritzem per agrupació:
$x^{2}(x - 2) - 3(x - 2) = (x-2)(x^{2} - 3) = 0$.
$(x+1)^{2} - (x-2)^{2} = (x+3)^{2} + x^{2} - 20$
Mostrar solució
Desenvolupem cada costat:
LHS: $(x^{2}+2x+1) - (x^{2}-4x+4) = 6x - 3$.
RHS: $(x^{2}+6x+9) + x^{2} - 20 = 2x^{2} + 6x - 11$.
Igualant: $6x - 3 = 2x^{2} + 6x - 11 \;\Longleftrightarrow\; 2x^{2} = 8 \;\Longleftrightarrow\; x^{2} = 4$.
$x^{4} + x^{2} = 2x^{3}$
Mostrar solució
Passem tot a un costat: $x^{4} - 2x^{3} + x^{2} = 0$. Factoritzem:
$x^{2}(x^{2} - 2x + 1) = x^{2}(x-1)^{2} = 0$.
$x^{3} - 5x^{2} + 7x - 3 = 0$
Mostrar solució
Provem $x = 1$: $1 - 5 + 7 - 3 = 0$ ✓. Per Ruffini: $(x-1)(x^{2} - 4x + 3) = 0$.
I $x^{2} - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$, així $x^{3} - 5x^{2} + 7x - 3 = (x-1)^{2}(x-3)$.
$x^{3} = 2 \cdot (2x + 4 - x^{2})$
Mostrar solució
Desenvolupem: $x^{3} = 4x + 8 - 2x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{3} + 2x^{2} - 4x - 8 = 0$.
Factoritzem per agrupació: $x^{2}(x+2) - 4(x+2) = (x+2)(x^{2}-4) = (x+2)^{2}(x-2)$.
2 Equacions biquadrades
Resol per canvi de variable $y = x^{2}$ (o, en algun cas, $z = x^{3}$).
$x^{4} + 4x^{2} = 0$
Mostrar solució
$x^{2}(x^{2}+4) = 0$. El factor $x^{2}+4$ no té arrels reals (sempre $> 0$).
$x^{4} - 8x^{2} = 9$
Mostrar solució
Sigui $y = x^{2}$: $y^{2} - 8y - 9 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{8 \pm 10}{2} = 9$ o $-1$.
$y = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. $y = -1$ es descarta (negatiu).
$x^{6} + x^{2} + 216 = x^{2} \cdot (1 + 35x)$
(Interpretació amb $35x$ per obtenir solucions enteres; si l'enunciat porta $35x^{4}$ la solució no és racional.)
Mostrar solució
Desenvolupem: $x^{6} + x^{2} + 216 = x^{2} + 35x^{3} \Rightarrow x^{6} - 35x^{3} + 216 = 0$.
Sigui $z = x^{3}$: $z^{2} - 35z + 216 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{35 \pm \sqrt{1225 - 864}}{2} = \dfrac{35 \pm 19}{2} = 27$ o $8$.
$z = 27 \Rightarrow x = 3$, $z = 8 \Rightarrow x = 2$.
$36 = x^{2} \cdot (13 - x^{2})$
Mostrar solució
$36 = 13x^{2} - x^{4} \Rightarrow x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0$.
Sigui $y = x^{2}$: $y^{2} - 13y + 36 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{13 \pm 5}{2} = 9$ o $4$.
3 Equacions racionals
Multiplica pel mínim comú múltiple dels denominadors i comprova sempre que les solucions estiguin dins del domini.
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+3} = \dfrac{1}{10}$
Mostrar solució
Multipliquem per $10x(x+3)$: $10(x+3) + 10x = x(x+3) \Rightarrow 20x + 30 = x^{2} + 3x$.
$x^{2} - 17x - 30 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{17 \pm \sqrt{289 + 120}}{2} = \dfrac{17 \pm \sqrt{409}}{2}$.
Numèricament: $x \approx 18{,}61$ o $x \approx -1{,}61$. Tots dos del domini ($x \neq 0, -3$).
$\dfrac{4}{x} + \dfrac{2x+2}{3x-6} = 4$
Mostrar solució
Domini: $x \neq 0$, $x \neq 2$. Multipliquem per $3x(x-2)$ (notem $3x-6 = 3(x-2)$):
$12(x-2) + x(2x+2) = 12x(x-2) \Rightarrow 2x^{2} + 14x - 24 = 12x^{2} - 24x$.
$10x^{2} - 38x + 24 = 0 \Rightarrow 5x^{2} - 19x + 12 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{19 \pm 11}{10} = 3$ o $\tfrac{4}{5}$.
$\dfrac{8 - x}{2} - \dfrac{2x - 11}{x - 3} = \dfrac{x + 6}{2}$
Mostrar solució
Domini: $x \neq 3$. Multipliquem per $2(x-3)$:
$(8-x)(x-3) - 2(2x - 11) = (x+6)(x-3)$.
Desenvolupant: $-x^{2} + 7x - 2 = x^{2} + 3x - 18 \Rightarrow 2x^{2} - 4x - 16 = 0 \Rightarrow x^{2} - 2x - 8 = 0$.
$x = \dfrac{2 \pm 6}{2} = 4$ o $-2$.
$\dfrac{2x}{x-3} - \dfrac{6}{x} = \dfrac{18}{x^{2} - 3x}$
Mostrar solució
Domini: $x \neq 0$, $x \neq 3$. Notem $x^{2} - 3x = x(x-3)$, així que multipliquem per $x(x-3)$:
$2x \cdot x - 6(x-3) = 18 \Rightarrow 2x^{2} - 6x + 18 = 18 \Rightarrow 2x^{2} - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x-3) = 0$.
Les "solucions" candidates serien $x = 0$ i $x = 3$, però cap d'elles està al domini (anul·len denominadors).
$\dfrac{x-1}{x-2} - \dfrac{2x - 2}{x^{2} + 3x} = \dfrac{5x - 5}{x^{2} + x - 6}$
Mostrar solució
Factoritzem denominadors: $x^{2}+3x = x(x+3)$, $x^{2}+x-6 = (x+3)(x-2)$. Domini: $x \neq 0, -3, 2$.
Multipliquem per $x(x+3)(x-2)$:
$(x-1) \cdot x(x+3) - 2(x-1)(x-2) = 5(x-1) \cdot x$.
Treiem factor comú $(x-1)$: $(x-1)\bigl[x(x+3) - 2(x-2) - 5x\bigr] = 0 \Rightarrow (x-1)(x^{2} - 4x + 4) = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2)^{2} = 0$.
Solucions candidates: $x = 1$ i $x = 2$. Descartem $x = 2$ (no és al domini).
$\dfrac{x+4}{x-3} - \dfrac{1 - 2x}{x^{2} - x - 6} = 0$
Mostrar solució
$x^{2} - x - 6 = (x-3)(x+2)$. Domini: $x \neq 3$, $x \neq -2$. Multipliquem per $(x-3)(x+2)$:
$(x+4)(x+2) - (1 - 2x) = 0 \Rightarrow x^{2} + 6x + 8 - 1 + 2x = 0 \Rightarrow x^{2} + 8x + 7 = 0$.
$(x+1)(x+7) = 0$.
$\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{2x^{2} - 4x} = \dfrac{1}{2x - 4}$
Mostrar solució
Factoritzem: $2x^{2} - 4x = 2x(x-2)$ i $2x - 4 = 2(x-2)$. Domini: $x \neq 0$, $x \neq 2$. Multipliquem per $2x(x-2)$:
$6(x-2) + 4 = x \Rightarrow 6x - 8 = x \Rightarrow 5x = 8$.