Compatibles e incompatibles
Definición
Dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento son:
· Compatibles si pueden ocurrir a la vez — es decir, si tienen elementos en común:
· Incompatibles (o mutuamente excluyentes) si no pueden ocurrir a la vez:
Ejemplo — Sobre el espacio muestral $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$
Consideremos los sucesos $A = \{1,3,4\}$, $B = \{2,4\}$ y $C = \{2,5\}$.
$A$ y $B$ son compatibles: comparten el $4$, i.e. $A \cap B = \{4\}$.
$A$ y $C$ son incompatibles: no comparten ningún elemento, $A \cap C = \varnothing$.
Consecuencia — Regla de la suma para incompatibles
Si $A$ y $B$ son incompatibles ($A \cap B = \varnothing$), entonces $P(A \cap B) = 0$ y la fórmula general de la unión se simplifica:
Si $A$ y $B$ no son incompatibles, no se puede eliminar el término $P(A \cap B)$ — se contaría dos veces la zona compartida.
Dependientes e independientes
Definición
$A$ y $B$ son independientes si el hecho de que uno de los dos suceda no afecta la probabilidad del otro. Formalmente, $A$ y $B$ son independientes si y solo si:
En caso contrario, se dice que son dependientes.
Consecuencia — Regla del producto para independientes
Recordemos la definición de probabilidad condicionada: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Si imponemos la condición de independencia $P(A) = P(A \mid B)$:
Esta es la regla del producto: la probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes es el producto de sus probabilidades.
Independientes ≠ Incompatibles
Dos conceptos diferentes que a menudo se confunden:
· Incompatibles: $A \cap B = \varnothing$ (no pueden darse a la vez).
· Independientes: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (el hecho de que uno suceda no cambia la probabilidad del otro).
De hecho, si $A$ y $B$ tienen probabilidad positiva y son incompatibles ($P(A \cap B) = 0$), entonces no pueden ser independientes (porque $P(A) \cdot P(B) > 0$).
Ejemplo — $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$, independientes. Calcula $P(A - B)$.
Como $A$ y $B$ son independientes, aplicamos la regla del producto:
Y la diferencia $A - B$ son los elementos de $A$ que no están en $B$. Por tanto:
Ejercicios
Sobre el espacio muestral $\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, considera los sucesos $A = \{2,4,6,8,10\}$ (pares), $B = \{1,3,5,7,9\}$ (impares), $C = \{1,2,3\}$ y $D = \{5,6,7,8\}$. Para cada pareja, indica si son compatibles o incompatibles y justifícalo con la intersección.
a) $A$ y $B$
$A \cap B = \varnothing$ (ningún número es par e impar a la vez).
b) $A$ y $C$
$A \cap C = \{2\}$ (el 2 es par y menor o igual a 3).
c) $B$ y $D$
$B \cap D = \{5,7\}$ (los impares dentro de $D$).
d) $C$ y $D$
$C \cap D = \varnothing$ (los elementos de $C$ son $\le 3$ y los de $D$ son $\ge 5$).
Al lanzar un dado correcto de 6 caras, considera $A$ = "sacar un número par" y $B$ = "sacar un múltiplo de 5". Calcula:
a) $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cap B)$. ¿Son $A$ y $B$ incompatibles?
$A = \{2,4,6\}$, $B = \{5\}$. Ley de Laplace:
Como $A \cap B = \varnothing$, son incompatibles.
b) $P(A \cup B)$.
Como son incompatibles, aplicamos la regla de la suma:
Sean $A$ y $B$ dos sucesos con $P(A) = 0{,}4$ y $P(B) = 0{,}25$. Supón que son independientes.
a) Calcula $P(A \cap B)$.
Por la regla del producto:
b) Calcula $P(A \cup B)$.
Por el principio de inclusión-exclusión:
c) Calcula $P(A - B)$.
$A - B$ son los elementos de $A$ que no están en $B$:
d) Comprueba que $P(A \mid B) = P(A)$.
Por la definición de probabilidad condicionada:
✓ Esta igualdad es la definición de independencia — verificamos que se cumple.
Para cada experimento, razona si los dos sucesos son independientes o dependientes.
a) Lanzamos dos dados. $A$ = "el primer dado saca 6", $B$ = "el segundo dado saca un número par".
El resultado del primer dado no afecta al del segundo — son dos lanzamientos separados.
Comprobación: $P(A) = \tfrac{1}{6}$, $P(B) = \tfrac{1}{2}$, $P(A \cap B) = \tfrac{1}{12} = \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{2}$ ✓.
b) Sacamos dos cartas seguidas de una baraja española (40 cartas), sin reposición. $A$ = "la 1ª carta es oros", $B$ = "la 2ª carta es oros".
Si sale oros en la primera, quedan 9 oros entre 39 cartas. Si no sale oros, quedan 10 oros entre 39. La probabilidad de $B$ depende de lo que ha pasado en $A$.
$P(B \mid A) = \tfrac{9}{39}$ pero $P(B \mid \overline{A}) = \tfrac{10}{39}$ — diferentes → no independientes.
c) Mismo experimento pero con reposición (después de la 1ª carta, la devolvemos a la baraja y barajamos). $A$ = "la 1ª es oros", $B$ = "la 2ª es oros".
Al devolver la carta, la baraja se restaura: la 2ª carta se extrae de una baraja de 40 cartas con 10 oros, igual que la 1ª.
Esta es la diferencia clave entre "con" y "sin" reposición.
d) Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 negras. Sacamos 2 bolas, una tras otra, sin reposición. $A$ = "la 1ª es roja", $B$ = "la 2ª es roja".
Sin reposición, el contenido de la urna cambia tras la 1ª extracción:
· Si sale roja ($A$), quedan $2$ rojas y $2$ negras → $P(B \mid A) = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$.
· Si no sale roja ($\overline{A}$), quedan $3$ rojas y $1$ negra → $P(B \mid \overline{A}) = \tfrac{3}{4}$.