6. Exercicis de logaritmes

Idea clau: reduir l'argument a una potència de la base i fer servir $\log_{a}(a^{k}) = k$. Per a una base "rara" $1/x$ recorda que $\log_{1/x}(x^{k}) = -k$ (perquè $(1/x)^{-k} = x^{k}$).

(a)

• $\log_{5}\!\dfrac{1}{\sqrt{125}} = \log_{5}(5^{-3/2}) = -\tfrac{3}{2}$.
• $\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{2}(2^{3}) = 3$.
• $\log_{3}\!\sqrt[5]{81^{2}} = \log_{3}(3^{8/5}) = \tfrac{8}{5}$.
• $\log 0{,}001^{2} = \log (10^{-6}) = -6$.

Sumem: $-\tfrac{3}{2} - 3 - \tfrac{8}{5} - 6 = -\tfrac{15}{10} - \tfrac{30}{10} - \tfrac{16}{10} - \tfrac{60}{10}$.

(b)

• $\log_{n}\!\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}} = \log_{n}(n^{-2/3}) = -\tfrac{2}{3}$.
• $\log_{m} m^{-1} = -1$.
• $\log_{1/m}\!m^{6} = -6$  (perquè $(1/m)^{-6} = m^{6}$).

Total: $-\tfrac{2}{3} - (-1) - (-6) = -\tfrac{2}{3} + 7$.

(c)

• $\log_{h+i}(h+i)^{3} = 3$.
• $\sqrt[5]{\dfrac{1}{8a^{3}}} = \sqrt[5]{(2a)^{-3}} = (2a)^{-3/5}$, així $\log_{2a}(2a)^{-3/5} = -\tfrac{3}{5}$.
• $\dfrac{b}{3} = (3/b)^{-1}$, així $\log_{3/b}(3/b)^{-1} = -1$.

Total: $3 - (-\tfrac{3}{5}) + (-1) = 2 + \tfrac{3}{5}$.

(d)

• $125 = (\sqrt{5})^{6}$, així $\log_{\sqrt{5}} 125 = 6$.
• $4 = (\sqrt{2})^{4}$, així $\log_{\sqrt{2}} 4 = 4$.
• $\log\sqrt{0{,}001} = \log(10^{-3/2}) = -\tfrac{3}{2}$, així $5 \cdot (-\tfrac{3}{2}) = -\tfrac{15}{2}$.

Total: $6 - 4 - (-\tfrac{15}{2}) = 2 + \tfrac{15}{2}$.

(e)

• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt[5]{a^{3}}}\,a = a^{1/2 - 3/5 + 1} = a^{9/10}$, així $\log_{a}(a^{9/10}) = \tfrac{9}{10}$.
• $\dfrac{1}{\sqrt[3]{b}} = b^{-1/3}$, així $\log_{1/b}(b^{-1/3}) = \tfrac{1}{3}$.

Total: $\tfrac{9}{10} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{27}{30} - \tfrac{10}{30}$.

(a)

$n^{-3/7} \cdot \dfrac{1}{n^{x}} = n^{-3/7 - x}$, així:

(b)

$9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ i $\sqrt{27^{-2x}} = (3^{3})^{-x} = 3^{-3x}$.

Quocient: $\dfrac{3^{8}}{3^{-3x}} = 3^{8 + 3x}$.

(c)

$9^{x} = 3^{2x}$, $\sqrt[3]{27^{2}} = 3^{2}$, $\sqrt[5]{3^{6x}} = 3^{6x/5}$.

Argument: $\dfrac{3^{2x} \cdot 3^{2}}{3^{6x/5}} = 3^{\,2x + 2 - 6x/5} = 3^{(10x + 10 - 6x)/5} = 3^{(4x+10)/5}$.

Reduïm tot l'argument a una sola potència d'$a$ treballant de dins cap a fora, i després apliquem $\log_{1/a}(a^{k}) = -k$ (perquè $(1/a)^{-k} = a^{k}$).

• $\sqrt[6]{a} = a^{1/6}$
• $\dfrac{1}{a^{2}} \cdot a^{1/6} = a^{-2 + 1/6} = a^{-11/6}$
• $\sqrt[5]{a^{-11/6}} = a^{-11/30}$
• $a^{3} \cdot a^{-11/30} = a^{90/30 - 11/30} = a^{79/30}$
• $\sqrt{a^{79/30}} = a^{79/60}$
• $a \cdot a^{79/60} = a^{60/60 + 79/60} = a^{139/60}$
• $\sqrt[7]{a^{139/60}} = a^{139/420}$

Apliquem ara $\log_{1/a}(a^{k}) = -k$:

El valor exacte depèn de la lectura precisa dels índexs de cada arrel niada al PDF original; el procediment és sempre el mateix (reduir a $a^{k}$ i fer servir la propietat).

Idea clau: ajunta tots els logaritmes amb les propietats del producte/quocient/potència fins tenir $\log(\text{cosa}) = \log(\text{una altra cosa})$ (i igualar arguments) o $\log(\text{cosa}) = c$ (i exponenciar a $10^{c}$). Després verifica el domini (els arguments han de ser positius).

(a) $\log(2x + 6) = 2$

Per definició, $2x + 6 = 10^{2} = 100$.

Domini: $2x + 6 > 0 \Rightarrow x > -3$ ✓.

(b) $\log(x + 3) - \log(2x - 2) = 1 - \log 5$

Apliquem la propietat del quocient i $1 = \log 10$:

Igualem arguments: $\dfrac{x+3}{2x-2} = 2 \Rightarrow x + 3 = 4x - 4 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \tfrac{7}{3}$.

Domini: $x + 3 > 0$ i $2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 1$. $x = \tfrac{7}{3} \approx 2{,}33$ ✓.

(c) $2\log x - \log(x - 16) = \log 100$

Propietat de la potència i del quocient:

Igualem arguments: $\dfrac{x^{2}}{x-16} = 100 \Rightarrow x^{2} = 100x - 1600 \Rightarrow x^{2} - 100x + 1600 = 0$.

Domini: $x > 0$ i $x - 16 > 0 \Rightarrow x > 16$. Totes dues solucions valen.

(d) $2\log x - \log(x + 6) = 0$

Igualem a $0 = \log 1$:

$x^{2} = x + 6 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 2) = 0$. Solucions candidates: $x = 3$ o $x = -2$.

Domini: $x > 0$. Descartem $x = -2$.

Per l'Ex. 45c, el costat esquerre és $\dfrac{4x+10}{5}$. Igualem:

Apliquem la propietat del producte: $\log a + \log b = \log(ab)$.

Estratègia: ajuntar tots els logaritmes en un de sol amb la propietat del producte/quocient i simplificar l'argument abans de calcular el resultat.

(a)

$\log_{2}\!\left(\dfrac{28 \cdot \tfrac{1}{49}}{\tfrac{8}{7}} \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-4}\right)$. L'últim terme: $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-4} = (\sqrt{2})^{4} = 4$.

$\dfrac{28}{49} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot 4 = \dfrac{28 \cdot 7 \cdot 4}{49 \cdot 8} = \dfrac{784}{392} = 2$.

(b)

Argument combinat: $\dfrac{\sqrt{27}/5 \cdot 3/125}{1/\sqrt{75}} = \dfrac{3\sqrt{27} \cdot \sqrt{75}}{5 \cdot 125} = \dfrac{3 \sqrt{27 \cdot 75}}{625} = \dfrac{3 \sqrt{2025}}{625} = \dfrac{3 \cdot 45}{625} = \dfrac{135}{625} = \dfrac{27}{125}$.

$\log_{3}\!\dfrac{27}{125} = \log_{3}(3^{3}/5^{3}) = 3 - 3\log_{3} 5$.

(c)

Argument combinat: $\dfrac{50 \cdot 25/8 \cdot \sqrt{20}}{\sqrt{125}/2} = \dfrac{50 \cdot 25 \cdot 2 \sqrt{20}}{8 \sqrt{125}}$. Aprofitem $\sqrt{20}/\sqrt{125} = \sqrt{20/125} = \sqrt{4/25} = 2/5$:

$= \dfrac{2500 \cdot 2/5}{8} = \dfrac{1\,000}{8} = 125 = 5^{3}$.

(a)

Argument combinat: $\dfrac{63 \cdot 3\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}/7} = \dfrac{63 \cdot 7 \cdot 3 \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}} = 1\,323 \cdot \dfrac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}} = 1\,323 \cdot \sqrt[3]{3}$.

$1\,323 = 49 \cdot 27 = 7^{2} \cdot 3^{3}$. Per tant $\log_{3}(7^{2} \cdot 3^{3} \cdot 3^{1/3}) = 2\log_{3} 7 + 3 + \tfrac{1}{3}$.

(b)

Argument combinat: $\dfrac{40 \cdot 2/125 \cdot \sqrt{50}}{\sqrt{8}/5} = \dfrac{400 \sqrt{50}}{125 \sqrt{8}} = \dfrac{16}{5} \cdot \sqrt{\dfrac{50}{8}} = \dfrac{16}{5} \cdot \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{16}{5} \cdot \dfrac{5}{2} = 8$.