Definició
Definició
Definim el logaritme en base $a$ de $b$ com el nombre $c$ tal que $a^{c} = b$:
${\color{#e11d48}a}$ és la base, ${\color{#059669}b}$ és l'argument i ${\color{#d97706}c}$ és el resultat.
Perquè tingui sentit, la base i l'argument han de complir:
La idea
Fer un logaritme és buscar a quin nombre s'ha d'elevar la base per obtenir l'argument.
Per què aquestes condicions: una base negativa no es pot elevar a qualsevol exponent ($(-2)^{1/2}$ no és real), i la base $1$ no serveix perquè $1^{c} = 1$ sempre. I com que una potència de base positiva sempre és positiva, l'argument ha de ser positiu: el logaritme de $0$ o d'un negatiu no existeix.
Exemples
Exemples
| Logaritme | Per què |
|---|---|
| $\log_{2} 8 = 3$ | $2^{3} = 8$ |
| $\log_{10} 100 = 2$ | $10^{2} = 100$ |
| $\log_{4} 64 = 3$ | $4^{3} = 64$ |
| $\log_{3} \frac{1}{9} = -2$ | $3^{-2} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}$ |
| $\log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} = -1$ | $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}$ |
| $\log_{5} 5 = 1$ | $5^{1} = 5$ |
| $\log_{5} 1 = 0$ | $5^{0} = 1$ |
| $\log_{5} 0$ | no existeix: cap potència de $5$ dona $0$ |
Exemple guiat
Quan el resultat no surt de cap, es passa a potència i s'escriu tot en la mateixa base:
Si les bases són iguals, els exponents també ho han de ser.
Tipus de logaritmes
| Tipus | Notació | Base |
|---|---|---|
| General | $\log_{a} b$ | $a$ |
| Decimal | $\log b$ | $10$ |
| Natural o neperià | $\ln b$ | $e \approx 2{,}718$ |
Quan no s'escriu la base, és $10$. Les dues últimes són les que porta la calculadora, a les tecles log i ln.
Exemples: la incògnita a la base o a l'argument
Si la incògnita és a la base:
Si la incògnita és a l'argument: