Problema 9 · Medidas de segmentos en una cuadrícula
Cuántas distancias distintas hay entre puntos de una cuadrícula 5×5.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoSi en una cuadrícula formada por 25 cuadraditos como la de la figura dibujamos todos los segmentos correspondientes a unir 2 puntos cualesquiera entre ellos, ¿cuántas medidas diferentes tendrán estos segmentos?
Solución razonada
Idea clave: la longitud de un segmento entre puntos de la cuadrícula es $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ con $0 \le a, b \le 5$ los desplazamientos horizontal y vertical. Contar medidas distintas es contar valores distintos de $a^{2}+b^{2}$.
Listamos los valores de $a^{2}+b^{2}$ para $0 \le a \le b \le 5$ (no ambos cero):
Atención a la única coincidencia: $25 = 5^{2}+0^{2} = 3^{2}+4^{2}$, que da la misma medida ($5$) para dos pares distintos y por eso solo cuenta una vez.
En total hay $19$ valores distintos.