Problema 8 · Parábola y la ecuación f(x)·f(x+k) = 0
Discriminante: cuándo un producto de dos parábolas tiene exactamente dos raíces.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoSi $f(x) = x^{2} - bx + 9$, con $b > 0$, ¿cuál es el valor de $b$ que hace que la ecuación $f(x)\cdot f(x+k) = 0$ tenga exactamente dos soluciones reales distintas cuando $k \neq 0$?
Solución razonada
Idea clave: $f(x)\cdot f(x+k) = 0$ significa $f(x)=0$ o $f(x+k)=0$. Las soluciones de la segunda son las de la primera desplazadas $k$ unidades.
Si $f$ tiene dos raíces distintas $r \neq t$ (discriminante positivo), el producto tiene como soluciones $\{r,\ t,\ r-k,\ t-k\}$: para un $k \neq 0$ cualquiera eso son cuatro valores distintos, demasiados.
Si $f$ no tiene raíces reales (discriminante negativo), el producto tampoco las tiene: ninguna solución.
La única manera de obtener exactamente dos para todo $k \neq 0$ es que $f$ tenga una raíz doble:
Comprobación: $f(x) = (x-3)^{2}$, y $f(x)\,f(x+k) = 0$ tiene las soluciones $x = 3$ y $x = 3-k$: exactamente dos distintas para cualquier $k \neq 0$. ✓