Problema 7 · Ocho círculos en un rectángulo
Tangencias: filas de 3-2-3 círculos iguales y algo de trigonometría.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoUn rectángulo alberga ocho círculos, todos del mismo radio. Algunos círculos son tangentes entre ellos y/o tangentes a los lados del rectángulo tal como se ve en la figura. El lado horizontal del rectángulo mide $30(\sqrt{3}-1)$ cm. ¿Cuánto mide el lado vertical?
Solución razonada
Idea clave: los círculos forman filas de 3–2–3. La anchura fija el radio; las tangencias entre filas dan la altura.
Sea $r$ el radio. La fila superior tiene $3$ círculos tangentes entre ellos y a los dos lados verticales, de manera que la anchura del rectángulo es $6r$:
Los centros de la fila superior están en $x = r, 3r, 5r$ y los de la fila central en $x = 2r, 4r$. Dos centros tangentes distan $2r$, con separación horizontal $r$; la separación vertical entre filas es, por Pitágoras,
La altura total es $r$ (del borde al primer centro) $+\sqrt{3}r + \sqrt{3}r + r$ (del último centro al borde):