Problema 6 · Números cuasicapicúas
Recuento por casos disjuntos alrededor de los capicúas de cuatro cifras.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoLlamamos cuasicapicúa a un número que si sumamos 1 a una y solo una de sus cifras, de manera que las demás no cambien, resulta un número capicúa. ¿Cuántos números cuasicapicúas de cuatro cifras hay?
Solución razonada
Idea clave: un capicúa de cuatro cifras $\overline{abba}$ exige dos igualdades: cifras exteriores iguales y cifras centrales iguales. Sumando 1 a una sola cifra solo podemos «arreglar» una de las dos igualdades; la otra ya debe cumplirse de entrada.
Sea $\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}$ el número. Hay cuatro casos según qué cifra incrementamos (esa cifra debe ser $\le 8$ para que no haya acarreo):
Caso 1 — incrementamos $d_2$: hace falta $d_1 = d_4$ y $d_3 = d_2+1$. Elecciones: $d_1=d_4 \in \{1,\dots,9\}$ y $d_2 \in \{0,\dots,8\}$ → $9 \cdot 9 = 81$.
Caso 2 — incrementamos $d_3$: hace falta $d_1 = d_4$ y $d_2 = d_3+1$ → también $9 \cdot 9 = 81$.
Caso 3 — incrementamos $d_1$: hace falta $d_2 = d_3$ y $d_4 = d_1+1$. Elecciones: $d_1 \in \{1,\dots,8\}$ y $d_2=d_3 \in \{0,\dots,9\}$ → $8 \cdot 10 = 80$.
Caso 4 — incrementamos $d_4$: hace falta $d_2 = d_3$ y $d_1 = d_4+1$. Elecciones: $d_4 \in \{0,\dots,8\}$ y $d_2=d_3 \in \{0,\dots,9\}$ → $9 \cdot 10 = 90$.
Los cuatro casos son disjuntos dos a dos: sus condiciones se contradicen (por ejemplo, $d_3 = d_2+1$ es incompatible con $d_2 = d_3+1$ y con $d_2=d_3$; y $d_1=d_4$ es incompatible con $d_4 = d_1+1$). Por tanto ningún número queda contado dos veces.