Problema 2 · El triple cuadrado perfecto
$n + 2n = 3n$ cuadrado obliga a $n = 3k^{2}$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximo¿Cuántos números enteros de dos cifras cumplen que la suma de él mismo y su doble es un cuadrado perfecto?
Copa Cangur · SCM
Fácil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: la suma es $n + 2n = 3n$. Si $3n$ es un cuadrado, el factor $3$ debe aparecer dos veces: $n$ ha de ser $3$ por un cuadrado.
Escribimos $n = 3k^{2}$ (entonces $3n = 9k^{2} = (3k)^{2}$ ✓). Con $10 \le n \le 99$:
$$k=2: n=12, \quad k=3: n=27, \quad k=4: n=48, \quad k=5: n=75.$$
Comprobación: $36 = 6^{2}$, $81 = 9^{2}$, $144 = 12^{2}$, $225 = 15^{2}$ ✓. Cuatro números.
Respuesta: 4