Problema 1 · Dos rectángulos paralelos
La relación $AE^{2}+CG^{2} = BF^{2}+DH^{2}$ entre esquinas opuestas.
Respuesta entera de 4 cifras como máximo$ABCD$ y $EFGH$ son dos rectángulos que tienen los lados paralelos. Si $AE = 15$, $BF = 27$ y $CG = 25$, ¿cuánto mide $DH$?
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: ponemos coordenadas: cada segmento esquina-esquina tiene una componente horizontal y una vertical, y las parejas opuestas comparten componentes.
Con $A=(0,0)$, $B=(W,0)$, $C=(W,H)$, $D=(0,H)$ y el rectángulo interior $[x_1,x_2]\times[y_1,y_2]$:
$$AE^{2}+CG^{2} = \left(x_1^{2}+y_1^{2}\right)+\left((W-x_2)^{2}+(H-y_2)^{2}\right) = BF^{2}+DH^{2},$$
porque $BF^{2} = (W-x_2)^{2}+y_1^{2}$ y $DH^{2} = x_1^{2}+(H-y_2)^{2}$ reparten exactamente los mismos cuatro cuadrados. Por tanto:
$$DH^{2} = 15^{2} + 25^{2} - 27^{2} = 225 + 625 - 729 = 121 \;\Longrightarrow\; DH = 11.$$
Respuesta: 11