Problema 8 · La ecuación exponencial
Factor común $19^{t-1}$: el exponente ha de ser cero.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoMultiplica las soluciones de esta ecuación. Si el resultado es negativo, da la respuesta en valor absoluto.
$$19^{x^2+4x-21} - 19^{x^2+4x-22} = \frac{54}{57}$$
Copa Cangur · SCM
Difícil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: simplificamos la fracción y sacamos factor común la potencia pequeña.
Por un lado $\tfrac{54}{57} = \tfrac{18}{19}$. Por otro, con $t = x^2 + 4x - 21$:
$$19^{t} - 19^{t-1} = 19^{t-1}(19 - 1) = 18 \cdot 19^{t-1}.$$
$$18 \cdot 19^{t-1} = \frac{18}{19} \;\Longrightarrow\; 19^{t-1} = 19^{-1} \;\Longrightarrow\; t = 0.$$
Por tanto $x^2 + 4x - 21 = 0$, es decir $(x+7)(x-3) = 0$: soluciones $x = -7$ y $x = 3$. El producto es $-21$ y, en valor absoluto, $21$. (Por Vieta, el producto es directamente el término independiente, $-21$.)
Respuesta: 21