Problema 3 · Multiplicar cifras hasta el cero
Para acabar en cero hay que pasar por un múltiplo de 10 o tener un 0.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoElegimos un número de dos cifras y las multiplicamos entre ellas. Si el resultado es un número de dos cifras, volvemos a multiplicar sus cifras, y repetimos el proceso hasta obtener un número de una cifra. ¿Con cuántos números diferentes podemos empezar si queremos acabar en un cero?
Solución razonada
Idea clave: el resultado final es $0$ exactamente cuando en algún paso aparece una cifra $0$, es decir, cuando llegamos a un múltiplo de $10$.
Llegan directamente los $9$ múltiplos de $10$ (de $10$ a $90$: producto $0$ inmediato). Después, rastreando hacia atrás qué productos caen en un múltiplo de $10$:
$25, 52, 55 \to 10$; $45, 54, 59, 69, 96 \to 20$ (vía $45 \to 20$ y $54 \to 20$); $56, 65, 78, 87 \to 30$; $58, 85 \to 40$; $95 \to 45 \to 20$.
En total: $9$ múltiplos de $10$ y $15$ números más ($25, 45, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 65, 69, 78, 85, 87, 95, 96$).